Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема

Для любых векторов , и справедливы равенства:

10. + = + (переместительный закон).

20. ( + ) + = + ( + ) (сочетательный закон).

Доказательство

Дано: , и .

Доказать: 10. + = + ; 20. ( + ) + = + ( + ).

Доказательство:

10. Пусть векторы и коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = , т.е. векторы и будут лежать на одной прямой и на той же прямой от точки А отложим векторы = и = .

+ = , + = , тогда , , при этом , так как модуль вектора - это длина отрезка, следовательно, . Поэтому точки С и С1 совпадают, значит, = (по определению равных векторов), значит, + = + .

Пусть теперь векторы и не коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. Противоположные стороны ВС и АD параллелограмма равны, при этом векторы и сонаправлены, следовательно, = = (по определению равных векторов), также DC = АВ (противоположные стороны параллелограмма) и векторы и сонаправлены, следовательно, = = .

По правилу треугольника = + = + . Аналогично = + = + , поэтому + = + .

20. От произвольной точки А отложим вектор = , от точки В - вектор = , а от точки С - вектор = .

Применяя правило треугольника, получим:

( + ) + = ( + ) + = + = ,

+ ( + ) = + ( + ) = + = .

Следовательно, ( + ) + = + ( + ).

Теорема доказана.

Правило параллелограмма

Чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор  равен + .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 765, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 770, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 784, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 802, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 808, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 906, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 908, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1050, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник