Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема

Доказательство

Дано: , и .

Доказать: 1⁰. + = + ; 2⁰. ( + ) + = + ( + ).

Доказательство:

1⁰. Пусть векторы и коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = , т.е. векторы и будут лежать на одной прямой и на той же прямой от точки А отложим векторы = и = .

+ = , + = , тогда , , при этом , так как модуль вектора - это длина отрезка, следовательно, . Поэтому точки С и С₁ совпадают, значит, = (по определению равных векторов), значит, + = + .

Пусть теперь векторы и не коллинеарны.

От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. Противоположные стороны ВС и АD параллелограмма равны, при этом векторы и сонаправлены, следовательно, = = (по определению равных векторов), также DC = АВ (противоположные стороны параллелограмма) и векторы и сонаправлены, следовательно, = = .

По правилу треугольника = + = + . Аналогично = + = + , поэтому + = + .

2⁰. От произвольной точки А отложим вектор = , от точки В - вектор = , а от точки С - вектор = .

Применяя правило треугольника, получим:

( + ) + = ( + ) + = + = ,

+ ( + ) = + ( + ) = + = .

Следовательно, ( + ) + = + ( + ).

Теорема доказана.

Правило параллелограмма

Чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор  равен + .