Сумма двух векторов

Рассмотрим два вектора и и найдем их сумму. Для этого отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор , равный вектору , называется суммой векторов и .

Суммой двух векторов и называется третий вектор , проведенный из начала вектора к концу вектора , если начало вектора совпадает с концом вектора .

Данное правило сложения векторов называется правилом треугольника (рисунок поясняет это название).

Сумма векторов и обозначается так: + .

Результат сложения (сумма) векторов и не зависит от выбора точки, от которой откладывается вектор .

Доказательство

Дано: = , = .

Доказать: = .

Доказательство:

Допустим, что точки А, В, А₁, точки В, С, В₁ и точки А, С, А₁ не лежат на одной прямой. Из равенства = следует, что стороны АВ и А₁В₁ четырехугольника АВВ₁А₁ равны и параллельны, т.к. равные векторы сонаправлены и их длины равны, поэтому этот четырехугольник - параллелограмм. Поэтому АА₁ = ВВ₁, значит, и . Аналогично из равенства  = следует, что четырехугольник ВСС₁В₁ - параллелограмм. Поэтому .

Итак, , , следовательно, . Поэтому АА₁С₁С - параллелограмм, и, значит, = . Что и требовалось доказать.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора справедливо равенство + = .

Правило треугольника можно сформулировать и так:

Если А, В и С - произвольные точки, то + = .

Данное правило справедливо для произвольных точек А, В и С, даже в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.