Вычитание векторов

Разность векторов и - вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Разность векторов и обозначается так: .

Задача на построение разности векторов (1 способ)

Даны векторы и . Построить вектор .

Дано: и .

Построить: .

Решение:

От произвольной точки О откладываем векторы = и = .

По правилу треугольника + = или + = , то есть сумма векторов и равна . По определению разности векторов это означает, что = , следовательно, вектор - искомый.

Противоположный вектор

Пусть - произвольный ненулевой вектор.

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены.

Вектор = является противоположным вектору = . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору , обозначается так: .

Сумма противоположных векторов и равна нулевому вектору, т.е. .

Теорема

Для любых векторов и справедливо равенство .

Доказательство

Дано: и .

Доказать: .

Доказательство:

По определению разности векторов . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор , получим:

или (т.к. ), следовательно, . Теорема доказана.

Задача на построение разности векторов (2 способ)

Даны векторы и . Построить вектор .

Дано: и .

Построить: .

Решение:

От произвольной точки О откладываем векторы = . Затем от точки А отложим =.

По теореме о разности векторов , поэтому , следовательно, вектор - искомый.