Упражнение 1089 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 246

\[ \sqrt[3]{(65+x)^2}+4\sqrt[3]{(65-x)^2}-5\sqrt[3]{65^2-x^2}=0 \]

\[ \sqrt[3]{(65+x)^2}+4\sqrt[3]{(65-x)^2}-5\sqrt[3]{(65+x)(65-x)}=0 \]

Пусть \( a=\sqrt[3]{65+x},\) \( b=\sqrt[3]{65-x}. \)

Тогда

\[ a^2+4b^2-5ab=0 \]

\[ a^2-5ab+4b^2=0 \]

\[ a^2-ab-4ab+4b^2=0 \]

\[ a(a-b)-4b(a-b)=0 \]

\[ (a-b)(a-4b)=0 \]

\(a - b =0\)  или  \(a - 4b = 0\)

1) \( a-b=0 \)

\[ a=b \]

\[ \sqrt[3]{65+x}=\sqrt[3]{65-x} \]

\[ 65+x=65-x \]

\(x+x = 65-65\)

\[ 2x=0 \]

\[ x=0 \]

2) \( a-4b=0 \)

\[ a=4b \]

\[ \sqrt[3]{65+x}=4\sqrt[3]{65-x} \]

\[ 65+x=4^3(65-x) \]

\[ 65+x=64(65-x) \]

\[ 65+x=4160-64x \]

\[ 65x=4095 \]

\(x = \frac{4095}{65}\)

\[ x=63 \]

Ответ: \( x=0,\quad x=63. \)

Пояснения:

Используем свойства кубического корня:

\[ \sqrt[3]{u^2}=\left(\sqrt[3]{u}\right)^2, \]

\[ \sqrt[3]{uv}=\sqrt[3]{u}\cdot \sqrt[3]{v}. \]

Также применяем формулу разности квадратов:

\[ 65^2-x^2=(65+x)(65-x). \]

Именно поэтому удобно ввести обозначения

\[ a=\sqrt[3]{65+x},\qquad b=\sqrt[3]{65-x}. \]

Тогда первое слагаемое уравнения превращается в

\[ \sqrt[3]{(65+x)^2}=a^2, \]

второе — в

\[ 4\sqrt[3]{(65-x)^2}=4b^2, \]

а третье — в

\[ 5\sqrt[3]{65^2-x^2}=5\sqrt[3]{(65+x)(65-x)}=5ab. \]

После замены исходное уравнение становится квадратным относительно \(a\) и \(b\):

\[ a^2+4b^2-5ab=0. \]

Теперь раскладываем это выражение на множители:

\[ a^2-5ab+4b^2=(a-b)(a-4b). \]

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому возникают два случая.

В первом случае

\[ a=b. \]

Так как кубический корень — возрастающая функция, из равенства кубических корней следует равенство подкоренных выражений:

\[ 65+x=65-x. \]

Отсюда получаем

\[ x=0. \]

Во втором случае

\[ a=4b. \]

Чтобы избавиться от кубических корней, возводим обе части в куб:

\[ 65+x=64(65-x). \]

После раскрытия скобок и переноса членов находим:

\[ 65x=4095, \]

\[ x=63. \]

Проверка показывает, что оба найденных значения подходят.

При \(x=0\):

\[ \sqrt[3]{65^2}+4\sqrt[3]{65^2}-5\sqrt[3]{65^2}=0. \]

При \(x=63\):

\( 65+63=128,\)

\(65-63=2, \)

\( \sqrt[3]{128^2}=16,\)

\(4\sqrt[3]{2^2}=4\sqrt[3]{4},\)

\(5\sqrt[3]{128\cdot 2}=5\sqrt[3]{256}=20\sqrt[3]{4}, \)

и равенство выполняется.

Следовательно, уравнение имеет два решения:

\[ x=0,\quad x=63. \]