Упражнение 1091 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 246

а) \(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 4, \\ |x| \geq 1 \end {cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 4, \\ x \geq 1, \\ x \leq 1 \end {cases}\)

б) \(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 9, \\ |y| \geq 2. \end {cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2 \leq 9, \\ y \geq 2, \\ y \leq 2 \end {cases}\)

Пояснения:

В системе нужно найти пересечение множеств, задаваемых каждым неравенством. Это значит, что точка должна одновременно удовлетворять обоим условиям.

Полезные правила:

\[ |x|\geq a \iff x\leq -a \ \text{или}\ x\geq a, \]

\[ |y|\geq a \iff y\leq -a \ \text{или}\ y\geq a. \]

Также неравенство

\[ x^2+y^2\leq R^2 \]

задаёт круг радиуса \(R\) с центром в начале координат вместе с границей.

В пункте а) неравенство

\[ x^2+y^2\leq 4 \]

задаёт круг радиуса \(2\).

Неравенство \( |x|\geq 1 \) означает, что абсцисса точки не меньше \(1\) по модулю, то есть точка должна лежать либо правее прямой \(x=1\), либо левее прямой \(x=-1\).

Поэтому нужно взять только те точки круга, которые находятся в областях \( x\geq 1 \) или \( x\leq -1. \)

Получаются две симметричные боковые части круга. Прямые \(x=1\), \(x=-1\) и окружность \( x^2+y^2=4 \) входят в ответ, потому что знаки неравенств нестрогие.

В пункте б) неравенство

\[ x^2+y^2\leq 9 \]

задаёт круг радиуса \(3\).

Условие \( |y|\geq 2 \) означает, что ордината точки должна удовлетворять одному из двух неравенств: \( y\geq 2 \) или \( y\leq -2. \)

Значит, внутри круга нужно оставить только точки, лежащие выше прямой \(y=2\) и ниже прямой \(y=-2\). Получаются две части: верхняя и нижняя. Границы тоже входят в ответ, так как неравенства нестрогие.