Упражнение 1075 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

Докажем, что при любом \(n>1, n\in N\) верно:

\(\small \frac{1}{2}<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1\)

\(\small \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n} \)

Докажем сначала правое неравенство: 

\(\small \frac{1}{2}<1;\frac{3}{4}<1;\frac{5}{6}<1; \cdots \frac{2n-1}{2n}<1 \)

Значит, \(\small \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}<1.\)

Теперь докажем левое неравенство:

\(\small\frac{3}{4}>\frac{1}{2};\frac{5}{6}>\frac{1}{2}; \cdots \frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2} \)

Значит: 

\(\small \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\underset{(n-1) - \text{раз}}{\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}}}\)

\(\small \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2^{n-1}}\) \(\small\color{red}|\times\frac{1}{2}\)

\(\small \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}\)

\(\small \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2^{n}}\)

Итак, получаем:

\(\small \frac{1}{2^n}<\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}<1\)

\(\small \frac{1}{2^n}<{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1\)

или

\(\small \frac{1}{2}<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1. \)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала разберём, из чего состоит данное выражение. В числителе стоят все нечётные числа от \(1\) до \(2n-1\), а в знаменателе — все чётные числа от \(2\) до \(2n\). Поэтому всю дробь удобно записать как произведение дробей:

\( \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n} =\)

\(= \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}. \)

Это главный шаг, потому что дальше можно сравнивать не всё выражение сразу, а каждый множитель по отдельности.

Для доказательства правой части неравенства нужно показать, что всё выражение под корнем меньше \(1\). Каждый множитель имеет вид

\[ \frac{2k-1}{2k}. \]

В такой дроби числитель меньше знаменателя, значит, каждая дробь меньше \(1\):

\[ \frac{2k-1}{2k}<1. \]

Произведение нескольких положительных чисел, каждое из которых меньше \(1\), тоже меньше \(1\). Значит, всё произведение меньше \(1\). А так как извлечение корня \(n\)-й степени из положительного числа сохраняет знак неравенства, то и после извлечения корня получаем число меньше \(1\).

Теперь объясним левую часть неравенства. Нужно доказать, что выражение под корнем больше, чем \(\frac{1}{2^n}\). Для этого сравним каждый множитель, начиная со вторго, с \(\frac{1}{2}\), получим, что каждый множитель больше \(\frac{1}{2}\). Поэтому всё произведение множителей, начиная со второго, больше произведения \(n-1\) одинаковых множителей \(\frac{1}{2}\):

\(\small \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2^{n-1}}\)

Умножаем каждую часть неравенства на \(\frac{1}{2}\), так как число положительно, то знак неравенства сохраняется, получаем:

\(\small \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}\)

Или

\(\small \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{2n-1}{2n}>\frac{1}{2^{n}}\)

В итоге имеем:

\(\small \frac{1}{2^n}<{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1\)

Так как извлечение корня сохраняет знак неравенства, получаем:

\(\small \frac{1}{2}<\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}<1. \)

Что и требовалось доказать.