Упражнение 1076 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

а) \( \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\)

\(= \sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\)

\(-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\)

\(\small= \sqrt[3]{(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2+1^3}-\)

\(\small-\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3-3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2-1^3}=\)

\(\small= \sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3}=\)

\(= (\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=\)

\(= \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1=2.\)

Ответ: \(2.\)

б) \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

Пусть:

\(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\)

\(x^3=\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)^3=\)

\(\small=\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\bigg)^3+3\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\bigg)^2\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}+\)

\(\small + 3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\cdot\bigg(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)^2+\bigg(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\bigg)^3=\)

\(\small=2+\sqrt{5}+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}+\)

\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}+2-\sqrt{5}=\)

\(\small=4+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{4-5}+\)

\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{4-5}=\)

\(\small=4+3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{-1}+\)

\(\small + 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{-1}=\)

\(\small=4-3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}- 3\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\)

\(\small=4-3\bigg(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\bigg)=4-3x.\)

\(x^3+3x-4=0\)

\(x^3-1+3x-3=0\)

\((x-1)(x^2+x+1)+3(x-1)=0\)

\((x^2+x+4)(x-1)=0\)

\(\Rightarrow  \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1. \)

Пояснения:

Основные формулы, которые здесь нужны:

Куб разности двух выражений:

\( (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \)

Куб суммы двух выражений:

\( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)

Разности квадратов двух выражений:

\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)

Разность кубов двух выражений:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)