Упражнение 1077 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

Доказать, что если \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\), то \(x=y=z\).

\(\small x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(|\times2\) 

\(\small 2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2zx\)

\(\small 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\small (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xy+x^2)=0\)

\(\small (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

\(\small (x-y)^2\geq 0,\; (y-z)^2\geq 0,\; (z-x)^2\geq 0\)

Сумма трёх неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Следовательно,

\( \begin{cases}  (x-y)^2=0, \\(y-z)^2=0, \\ (z-x)^2=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases}  x-y=0, \\y-z=0, \\ z-x=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases}x=y, \\y=z, \\ z=x \end{cases} \)

Следовательно,

\( x=y=z,\) что и требовалось доказать.

Пояснения:

В этой задаче используется важный приём: нужно преобразовать данное равенство так, чтобы получить сумму квадратов.

Основные правила, которые здесь применяются:

\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \)

Также используется свойство квадрата числа:

\( a^2\geq 0 \)

для любого числа \(a\).

Это свойство очень важно: квадрат не может быть отрицательным. Поэтому если сумма нескольких квадратов равна нулю, то каждый квадрат обязан быть равен нулю.

Получаем:

\( x-y=0,\qquad y-z=0,\qquad z-x=0, \)

а значит, все три числа равны между собой.

Из этого следует:

\( x=y,\; y=z,\; z=x. \)

Следовательно, все три числа равны:

\( x=y=z. \)

Главная идея задачи состоит в том, что условие надо не пытаться решать напрямую, а свести к сумме квадратов разностей. Это очень распространённый и полезный приём в задачах на доказательство равенства нескольких чисел.