Упражнение 900 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2-y^2=3 \)

\( (x-y)(x+y)=3 \)

\[ 3=1\cdot 3=(-1)\cdot (-3) \]

1) \(\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=3 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=4\)

\(x = \frac42\)

\(x=2 \)

\(2 + y = 3\)

\(y = 3 - 2\)

\[ y=1 \]

\((2; 1)\)

2) \(\begin{cases} x-y=3, \\ x+y=1 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=4\)

\(x = \frac42\)

\(x = 2\)

\(2 + y = 1\)

\(y = 1 - 2\)

\[ y=-1 \]

\((2; -1)\)

3) \(\begin{cases} x-y=-1, \\ x+y=-3 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=-4\)

\(x = \frac{-4}{2}\)

\(x=-2 \)

\(-2 + y = -3\)

\(y = -3 + 2\)

\[ y=-1 \]

\((-2; -1)\)

4) \(\begin{cases} x-y=-3, \\ x+y=-1 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=-4\)

\(x = \frac{-4}{2}\)

\(x=-2 \)

\(-2 + y = -1\)

\(y = -1 + 2\)

\(y = 1\)

\((-2; 1)\)

Ответ:

\[ (2,1),\ (2,-1),\ (-2,-1),\ (-2,1). \]

б) \( x^2-y^2=4 \)

\[ (x-y)(x+y)=4 \]

\( 4=1\cdot 4=2\cdot 2=\)

\(=(-1)\cdot (-4)=(-2)\cdot (-2) \)

1) \(\begin{cases} x-y=1, \\x+y=4 \end{cases}\)   \((+)\)

\[ 2x=5 \]

\(x = \frac52\)

\(x = 2,5 \notin \mathbb{Z} \)

2) \(\begin{cases} x-y=2, \\x+y=2 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=4\)

\(x = \frac42\)

\(x=2 \)

\(2 + y = 2\)

\(y = 2-2\)

\[ y=0 \]

\((2; 0)\)

3) \(\begin{cases} x-y=4, \\x+y=1 \end{cases}\)   \((+)\)

\[ 2x=5 \]

\(x = \frac52\)

\(x = 2,5 \notin \mathbb{Z} \)

4) \(\begin{cases} x-y=-1, \\x+y=-4 \end{cases}\)   \((+)\)

\[ 2x=-5 \]

\(x = \frac{-5}{2}\)

\[ x = -2,5 \notin \mathbb{Z} \]

5) \(\begin{cases} x-y=-2, \\x+y=-2 \end{cases}\)   \((+)\)

\( 2x=-4\)

\(x = \frac{-4}{2}\)

\(x=-2 \)

\(-2 + y = -2\)

\(y = -2 + 2\)

\[ y=0 \]

\((-2; 0)\)

6) \(\begin{cases} x-y=-4, \\x+y=-1 \end{cases}\)   \((+)\)

\[ 2x=-5 \]

\(x = \frac{-5}{2}\)

\(x = -2,5 \notin \mathbb{Z} \)

Ответ: \( (2,0),\ (-2,0). \)

в) \( x^2-\frac{3}{y^2}=1 \)

Так как \(x\) и \(y\) — целое число и \(y\neq0\), то \(y^2\) — натуральный делитель числа \(3\).

\[ y^2=1 \quad \text{или} \quad y^2=3 \]

Если \( y^2=3 \Rightarrow y = \pm\sqrt3\notin \mathbb{Z} \)

Если \( y^2=1, \Rightarrow y=\pm 1 \)

При \(y = 1\):

\( x^2-\frac{3}{1^2}=1 \)

\[ x^2-3=1 \]

\[ x^2=3 + 1 \]

\[ x^2=4 \]

\[ x=\pm 2 \]

При \(y = -1\):

\( x^2-\frac{3}{(-1)^2}=1 \)

\[ x^2-3=1 \]

\[ x^2=3 + 1 \]

\[ x^2=4 \]

\[ x=\pm 2 \]

Ответ:

\[ (2,1),\ (2,-1),\ (-2,1),\ (-2,-1). \]

г) \( \frac{4}{x^2}+y^2=6 \)

Так как \(x\) и \(y\) — целые числа и \(x\neq 0\), то \(x^2\) — натуральный делитель числа \(4\).

\[ x^2=1,\ 2,\ 4 \]

1) Если \(\;x^2=1,\Rightarrow x=\pm 1\)

При \( x = 1\):

\( \frac{4}{1^2}+y^2=6 \)

\(4 + y^2 = 6\)

\(y^2 = 6 - 4\)

\(y^2 = 2\)

\[ y = \pm\sqrt2 \notin \mathbb{Z} \]

При \( x = -1\):

\( \frac{4}{(-1)^2}+y^2=6 \)

\(4 + y^2 = 6\)

\[ y = \pm\sqrt2 \notin \mathbb{Z} \]

2) Если \( x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt2 \notin \mathbb{Z} \)

3) \(\;x^2=4,\Rightarrow x=\pm 2\)

При \( x = 2\):

\( \frac{4}{2^2}+y^2=6 \)

\(1 + y^2 = 6\)

\(y^2 = 6 - 1\)

\(y^2 = 5\)

\(y = \pm\sqrt5 \notin \mathbb{Z} \)

При \( x = 2\):

\( \frac{4}{(-2)^2}+y^2=6 \)

\(1 + y^2 = 6\)

\(y = \pm\sqrt5 \notin \mathbb{Z} \)

Ответ: целых решений нет.

---

Пояснения:

В этой задаче используются разные приёмы для поиска целых решений.

Основные формулы и свойства:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \]

\[ a^2\geq 0, \]

если \(x \in \mathbb{Z}\), то \(x^2\) — целое неотрицательное число.

Также важно помнить, что при поиске целых решений можно использовать делимость: если произведение целых чисел равно небольшому числу, то удобно перебрать все его делители.

В пункте а) применяется формула разности квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Получаем произведение двух целых чисел, равное \(3\). У числа \(3\) мало делителей, поэтому можно перебрать все возможные пары:

\[ 1 \cdot 3,\quad 3 \cdot 1,\quad (-1)\cdot (-3),\quad (-3)\cdot (-1). \]

Для каждой пары составляется система из двух линейных уравнений, после чего находятся целые \(x\) и \(y\).

В пункте б) делается то же самое:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=4. \]

Но здесь не каждая пара делителей даёт целые \(x\) и \(y\). Например, если

\[ x-y=1,\quad x+y=4, \]

то \( 2x=5, \) а это нецелое значение. Поэтому подходят только те случаи, где сумма правых частей чётная.

В пункте в) так как \(x\) и \(y\) целые числа и справа в уравнении стоит целое число, \(y^2\) должен быть натуральным делителем числа \(3\). Поэтому:

\( y^2=1\) или \( y^2=3\)

Далее подстановкой находится \(x\).

В пункте г) так как \(x\) и \(y\) целые числа и справа в уравнении стоит целое число, \(y^2\) должен быть натуральным делителем числа \(4\). Поэтому:

\( x^2=1\) или \( x^2=2\) или \(x^2=4. \)

Дальше подстановка показывает, что в обоих случаях \(y^2\) получается равным \(2\) или \(5\), а это не квадраты целых чисел. Поэтому целых решений нет.