Упражнение 899 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y-x=a \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x^2+(a+x)^2=9,\\ y=a+x \end{cases} \]

\(x^2+(a+x)^2=9\)

\(x^2 + a^2 + 2ax + x^2 - 9 = 0\)

\(2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0\)

\(D = (2a)^2 - 4\cdot2\cdot(a^2 - 9) =\)

\(=4a^2 - 8a^2 + 72 = \)

\(=-4a^2 + 72\)

Уравнение имеет один корень, если \(D = 0\), два корня, если \(D > 0\), не имеет корней, если \(D < 0\).

1) \(D = 0\)

\(-4a^2 + 72 = 0\)

\(-4a^2 =-72\)

\(a^2 = \frac{-72}{-4}\)

\(a^2 = 18\)

\(a = \pm\sqrt{18}\)

\(a = \pm\sqrt{9\cdot2}\)

\(a = \pm3\sqrt{2}\)

2) \(-4a^2 + 72 > 0\)  \(/ : (-4)\)

\(a^2 - 18 < 0\)

\(a^2 - 18 = 0\)

\(a^2 = 18\)

\(a = \pm3\sqrt{2}\)

\(a \in (-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2})\)

3) \(-4a^2 + 72 < 0\)

\(a \in (-\infty; -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}; \infty)\).

Наименьшее по модулю значение параметра \(a\), при котором система имеет одно решение:

\[ |a|=3\sqrt{2}. \]

Пояснения:

Чтобы определить количество решений системы, используем при решении метод подстановки: из второго уравнения выражаем переменную \(y\) и подставляем во второе уравнение, получая квадратное уравнение, количество корней которого зависит от дискриминанта:

- если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень,

- если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня,

- если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.