Упражнение 887 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ a^2-b^2=45 \]

\[ (a-b)(a+b)=45 \]

\[ 45=1\cdot 45=3\cdot 15=5\cdot 9 \]

1) \( \begin{cases}a-b=1,\\ a+b=45 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=46\)

\(a = \frac{46}{2}\)

\(a=23 \)

\(23 - b = 1\)

\(b = 23 - 1\)

\(b = 22\)

2) \( \begin{cases}a-b=3,\\ a+b=15 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=18\)

\(a = \frac{18}{2}\)

\(a=9 \)

\(9 - b = 3\)

\(b = 9-3 \)

\[ b=6 \]

3) \( \begin{cases}a-b=5,\\ a+b=9 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=14\)

\(a = \frac{14}{2}\)

\(a=7 \)

\(7 - b = 5\)

\(b = 7 - 5\)

\[ b=2 \]

Ответ: \(23\) и \(22\); \(9\) и \(6\); \(7\) и \(2\).

Пояснения:

Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Это позволяет заменить разность квадратов произведением двух выражений. По условию задачи:

\[ (a-b)(a+b)=45. \]

Теперь нужно разложить число \(45\) на произведение двух натуральных чисел. Все возможные разложения:

\[ 45=1\cdot 45,\quad 3\cdot 15,\quad 5\cdot 9. \]

Каждую пару мы приравниваем к выражениям \(a-b\) и \(a+b\). Это даёт систему из двух уравнений:

\[ a-b=x,\quad a+b=y. \]

Чтобы найти \(a\), складываем уравнения:

\[ 2a=x+y. \]

Чтобы найти \(b\), подставляем полученное \(a\) в первое уравнение и выражаем \(b).

Решая каждую систему, получаем три пары натуральных чисел:

\[ (23,22),\ (9,6),\ (7,2). \]

Все они удовлетворяют условию задачи, так как разность их квадратов равна \(45\).

а) \(\small 0{,}3^{-3}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1}+(-0{,}5)^{-2}\cdot\dfrac{3}{4}+(-1)^{-8}\cdot6=\)

\(\small =\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}+\dfrac{7}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot\dfrac{3}{4}+\frac{1}{(-1)^8}\cdot6=\)

\(\small =\left(\frac{10}{3}\right)^{3}+\dfrac{7}{3}+2^{2}\cdot\dfrac{3}{4}+6=\)

\(\small =\frac{1000}{27}+\dfrac{7}{3}^{\color{red}{\backslash{9}}}+3+6=\)

\(\small =\frac{1000}{27}+\dfrac{63}{27}+9=\frac{1063}{27}+9=\)

\(=39\frac{10}{27}+9=48\frac{10}{27}.\)

б) \(\small \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1}+\left(\dfrac{6}{17}\right)^0\cdot\dfrac{1}{8}-0{,}25^{-2}\cdot16=\)

\(\small= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-9+\frac{1}{8}-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\cdot16=\)

\(\small=\dfrac{9}{4}^{\color{red}{\backslash{2}}}-9+\frac{1}{8}-4^{2}\cdot16=\)

\(\small=\dfrac{18}{8}-\frac{72}{8}+\frac{1}{8}-256=-\dfrac{53}{8}-256=\)

\(=-6\dfrac{5}{8}-256=-262\dfrac{5}{8}.\)

Пояснения:

Используемые правила:

1) \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).

2) \(a^0=1\), если \(a\ne0\).

3) При возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число.

4) При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, приводим дроби к общему знаменателю, а затем выполняем действие.

5) Прежде, чем возводить десятичную дробь в отрицательную степень, записываем ее в виде обыкновенной дроби, затем используем то, что \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\)