Упражнение 674 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,

\(b_1>0,\ q>1\).

Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).

Доказательство:

\(q^{n-1}>1\),   \(q - 1 > 0\)

\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),

\[b_{n+1}=b_n q\]

\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)

\(=b_n(q-1)>0\), так как

\(b_n > 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,

\(b_{n+1}>b_n\).

Пример:

Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 2\), тогда

\(b_2 = b_1q = 1\cdot2 = 2\).

\(b_3 = b_2q = 2\cdot2 = 4\).

\(b_4 = b_3q = 4\cdot2 = 8\)

\(8 > 4 > 2 > 1\)

\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).

б) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,

\(b_1>0\) и \(0 < q < 1\).

Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)

Доказательство:

\(q-1<0,\)   \(0 < q^{n-1} < 1\).

\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),

\(b_{n+1}-b_n=b_n(q-1)<0\)

\[b_{n+1}=b_n q\]

\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)

\(=b_n(q-1)<0\), так как

\(b_n > 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,

\(b_{n+1} < b_n\)

Пример:

Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 0,5\), тогда

\(b_2 = b_1q = 1\cdot0,5 = 0,5\).

\(b_3 = b_2q = 0,5\cdot0,5 = 0,25\).

\(b_4 = b_3q = 0,25\cdot0,5 = 0,125\).

\(0,125 < 0,25 < 0,5 < 1\)

\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).

в) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,

\(b_1<0,\ q>1\).

Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)

Доказательство:

\(q^{n-1}>1\),   \(q - 1 > 0\)

\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),

\[b_{n+1}=b_n q\]

\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)

\(=b_n(q-1)<0\), так как

\(b_n < 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,

\(b_{n+1} < b_n\)

Пример:

Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 2\), тогда

\(b_2 = b_1q = -1\cdot2 = -2\).

\(b_3 = b_2q = -2\cdot2 = -4\).

\(b_4 = b_3q = -4\cdot2 = -8\).

\(-8 < -4 < -2 < - 1\)

\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).

г) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,

\(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\).

Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).

Доказательство:

\(q-1<0,\)   \(0 < q^{n-1} < 1\).

\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),

\[b_{n+1}=b_n q\]

\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)

\(=b_n(q-1)>0\), так как

\(b_n < 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,

\(b_{n+1}>b_n\).

Пример:

Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 0,5\), тогда

\(b_2 = b_1q = -1\cdot0,5 = -0,5\).

\(b_3 = b_2q = -0,5\cdot0,5 = -0,25\).

\(b_4 = b_3q = -0,25\cdot0,5 = -0,125\).

\(-0,125 > -0,25 > -0,5 > -1\)

\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Геометрическая прогрессия задаётся формулой

\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]

2) Для сравнения соседних членов удобно рассматривать разность

\[b_{n+1}-b_n=b_n(q-1).\]

Анализ знака разности.

Знак разности \(b_{n+1}-b_n\) определяется знаками \(b_n\) и \(q-1\). В зависимости от их сочетания получаем возрастание или убывание прогрессии.

Если разность \(b_{n+1}-b_n\) положительна, то \(b_{n+1} > b_n\), а если разность отрицательна, то \(b_{n+1} < b_n\).

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:

\[a-d,\ a,\ a+d.\]

Периметр треугольника:

\[(a-d)+a+(a+d)=24\]

\[a-\cancel d+a+a+\cancel d=24\]

\(3a = 24\)

\(a = \frac{24}{3}\)

\[a=8.\]

\(8\) (см) - средняя сторона треугольника.

\(8-d\) (см) - меньшая сторона треугольника.

\(8+d\) (см) - большая сторона треугольника.

По неравенству треугольника:

\[(8-d)+8>8+d\]

\[8-d+8>8+d\]

\[-d - d>8-16\]

\(-2d > -8\)  \(/ :(-2)\)

\[d<4\]

Так как длины сторон — целые числа, то \(d\) — целое неотрицательное число:

\[d=1,\ 2,\ 3.\]

Возможные длины сторон:

При \(d=1\): \(7,\ 8,\ 9\).

При \(d=2\): \(6,\ 8,\ 10\).

При \(d=3\): \(5,\ 8,\ 11\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Если три числа образуют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде

\(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

3) Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей.