Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№673 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Первый и девятый члены геометрической прогрессии равны соответственно \(135\) и \(\dfrac{5}{3}\). Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.
№673 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Найдите члены арифметической прогрессии \((a_n)\), обозначенные буквами:
а) \(a_1;\ a_2;\ -19;\ -11{,}5;\ a_5;\ \dots\);
б) \(a_1;\ -8{,}5;\ a_3;\ -4{,}5;\ a_5;\ a_6;\ \dots\).
№673 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Вспомните:
№673 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№673 учебника 2023-2026 (стр. 186):
\((b_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(b_1=135,\quad b_9=\dfrac{5}{3}\)
\(b_n=b_1 q^{\,n-1}\)
\(b_9=b_1 q^{8}\)
\(q^8 = \dfrac{b_9}{b_1}\)
\(q^8 = \dfrac{\frac53}{135}=\dfrac{\cancel5}{3}\cdot\dfrac{1}{\cancel{135} _{\color{blue}{27}}}=\)
\(=\dfrac{1}{81}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^4.\)
\((q^2)^4 =\left(\dfrac{1}{3}\right)^4.\)
\(q^2 = \frac13\)
\(q=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(b_2=b_1 q=^ {\color{blue}{45}}\cancel{135}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel3}=45\sqrt{3}\);
\(b_3=b_2 q=45\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\)
\(=\frac{45\cdot\cancel3}{\cancel3} =45\);
\(b_4=b_3 q= ^{\color{blue}{15}}\cancel{45}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel3}=15\sqrt{3}\)
\(b_5=b_4 q=15\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\)
\(=\frac{15\cdot\cancel3}{\cancel3} =15\);
\(b_6=b_5 q=^ {\color{blue}{5}}\cancel{15}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\cancel3}=5\sqrt{3}\);
\(b_7=b_6 q=5\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\)
\(=\frac{5\cdot\cancel3}{\cancel3} =5\);
\(b_8=b_7 q=5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[b_n=b_1 q^{n-1}.\]
2) Чтобы найти знаменатель прогрессии, используем отношение:
\[\frac{b_9}{b_1}=q^8.\]
3) Члены геометрической прогрессии находятся последовательным умножением на знаменатель \(q\).
№673 учебника 2014-2022 (стр. 176):
а) \(a_1;\ a_2;\ -19;\ -11{,}5;\ a_5;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.
\(a_3 = -19\), \(a_4 = -11,5\)
\(d= a_4 - a_3=-11{,}5-(-19)=7{,}5\)
\(a_2=a_3-d=-19-7{,}5=-26{,}5\)
\(a_1=a_2-d=-26{,}5-7{,}5=-34\)
\(a_5=a_4+d=-11{,}5+7{,}5=-4\)
б) \(a_1;\ -8{,}5;\ a_3;\ -4{,}5;\ a_5;\ a_6;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.
\(a_2 = -8,5\), \(a_4 = -4,5\)
\(d=\dfrac{a_4 - a_2}{2}=\dfrac{-4{,}5-(-8{,}5)}{2} =\)
\(=\dfrac42=2\).
\(a_1=a_2 - d=-8{,}5-2=-10{,}5\)
\(a_3=a_2 + d=-8{,}5+2=-6{,}5\)
\(a_5=a_4 + d=-4{,}5+2=-2{,}5\)
\(a_6 = a_5 + d=-2{,}5+2=-0{,}5\)
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность соседних членов постоянна и равна \(d\):
\[a_{n+1}-a_n=d.\]
2) Любой член арифметической прогрессии можно выразить через соседний:
\(a_{n-1}=a_n-d,\)
\(a_{n+1}=a_n+d.\)
а) Разбор пункта а).
Даны подряд идущие члены прогрессии:
\[a_3=-19,\quad a_4=-11{,}5.\]
Находим разность прогрессии:
\[d=a_4-a_3.\]
Теперь последовательно находим неизвестные члены.
Так как \(a_2\) стоит перед \(a_3\), то:
\[a_2=a_3-d.\]
Аналогично:
\[a_1=a_2-d.\]
Чтобы найти \(a_5\), прибавляем разность к \(a_4\):
\[a_5=a_4+d.\]
б) Разбор пункта б).
Даны члены:
\[a_2=-8{,}5,\quad a_4=-4{,}5.\]
Между ними два шага прогрессии, поэтому разность находится делением на 2:
\[d=\frac{a_4-a_2}{2}.\]
Теперь находим остальные члены:
\[a_1=a_2-d,\]
\[a_3=a_2+d,\]
\[a_5=a_4+d,\]
\[a_6=a_5+d.\]
Вернуться к содержанию учебника