Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№671 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Является ли геометрической прогрессией последовательность \((x_n)\), если:
а) \(x_n=2^n\);
б) \(x_n=3^{-n}\);
в) \(x_n=n^2\);
г) \(x_n=a b^n\), где \(a\ne 0,\ b\ne 0\)?
№671 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Задайте формулой \(n\)-го члена последовательность \((a_n)\), если:
а) \((a_n)\) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;
б) \((a_n)\) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.
№671 учебника 2023-2026 (стр. 186):
Вспомните:
№671 учебника 2014-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№671 учебника 2023-2026 (стр. 186):
а) \(x_n=2^n\)
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2 ^{\cancel n + 1 - \cancel n} =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.
б) \(x_n=3^{-n}\)
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{3^{-n+1}}{3^{-n}}=3 ^{\cancel {-n} + 1 - \cancel {(-n)}} =3\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.
в) \(x_n=n^2\)
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{(n+1)^2}{n^2} =\)
\(=\dfrac{n^2 + 2n+1}{n^2} =\)
\(=\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{2\cancel n}{n^{\cancel2}} + \dfrac{1}{n^2}=\)
\(=1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2} \) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.
Ответ: последовательность \((x_n)\) не является геометрической.
г) \(x_n=a b^n\), где \(a\ne 0,\ b\ne 0\)
\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\cancel ab^{n+1}}{\cancel ab^n}=b^{\cancel n+1-\cancel n}=b\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.
Пояснения:
Используемые определения и правила:
1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):
\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]
2) Знаменатель прогрессии \(q\) находится по формуле:
\[q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\]
3) Степени с одинаковым основанием при делении дают разность показателей:
\[\frac{a^{n+1}}{a^n} = a^{\cancel n + 1 - \cancel n} = a^1 = a.\]
Разбор случаев.
а), б) Последовательности вида \(c^n\) всегда являются геометрическими прогрессиями со знаменателем \(c\).
в) В последовательности \(n^2\) отношение соседних членов меняется, поэтому она не является геометрической.
г) Последовательность вида \(ab^n\) по определению является геометрической прогрессией со знаменателем \(b\).
№671 учебника 2014-2022 (стр. 176):
а) \(a_1=5,\ a_2=10,\ a_3=15,\,\dots\)
\(a_n=5n\), где \(n \in N\).
б) \(a_1=1,\ a_2=6,\ a_3=11,\,\dots\)
\(a_n=5n - 4\), где \(n \in N\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Натуральные числа, кратные 5, имеют вид \(5\cdot k\), где \(k\in\mathbb{N}\).
2) Числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, имеют вид \(5\cdot k+1\).
а) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
К натуральным числам, кратным 5, относятся числа
\[5,\ 10,\ 15,\ 20,\ \dots\]
Каждое из них получается умножением натурального числа на 5:
\(5=5\cdot 1,\)
\(10=5\cdot 2,\)
\(15=5\cdot 3.\)
Если номер члена равен \(n\), то соответствующее число равно
\[a_n=5n.\]
б) Последовательность натуральных чисел, дающих остаток 1 при делении на 5.
Такие числа имеют вид
\[1,\ 6,\ 11,\ 16,\ \dots\]
Каждое из них можно представить в виде
\(1=5\cdot 0+1,\)
\(6=5\cdot 1+1,\)
\(11=5\cdot 2+1.\)
Если считать номером последовательности \(n=1,2,3,\dots\), то формулу удобно записать так:
\[a_n=5n-4.\]
Действительно, при \(n=1\) получаем \(a_1=1\), при \(n=2\) — \(a_2=6\), и так далее.
Вернуться к содержанию учебника