Упражнение 642 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть углы треугольника образуют арифметическую прогрессию:

\[a-d,\ a,\ a+d.\]

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):

\[(a-d)+a+(a+d)=180^\circ\]

\[a-\cancel d+a+a+\cancel d=180^\circ\]

\[3a=180^\circ\]

\(a = \dfrac{180^\circ}{3}\)

\[a=60^\circ.\]

Средний угол равен \(60^\circ\), то есть один из углов треугольника равен \(60^\circ\). Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Если три числа образуют арифметическую прогрессию, то их можно представить в виде

\[a-d,\ a,\ a+d.\]

2) Сумма внутренних углов любого треугольника равна \(180^\circ\).

Пусть \(A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=a_1=16\) см

\(A_2B_2\), \(B_2С_2\), \(C_2A_2\) - средние линии треугольника, значит:

\(A_2B_2=\frac{1}{2}A_1C_1=\frac12a_1\)

 \(B_2C_2=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac12a_1\)

 \(C_2A_2=\frac{1}{2}B_1C_1=\frac12a_1\)

Итак:

\(A_2B_2 = B_2C_2=C_2A_2=a_2=\frac12a_1\)

Тогда:

\(P_2=3a_2=3\cdot\frac12a_1=\)

\(=3a_1\cdot\frac12=P_1\cdot\frac12\)

\(A_3B_3\), \(B_3С_3\), \(C_3A_3\) - средние линии треугольника, значит:

\(A_3B_3=\frac{1}{2}A_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1C_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

 \(B_3C_3=\frac{1}{2}A_2B_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1B_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

 \(C_3A_3=\frac{1}{2}B_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}B_1C_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

Итак:

\(A_3B_3=B_3C_3=C_3A_3=\)

\(=a_3=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

Тогда:

\(P_3=3a_3=3a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2=\)

\(=P_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

\(\dots\)

\(P_n=3a_n=3a_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}=\)

\(=P_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

То есть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию \(P_n=P_1q^{n-1}\), где \(P_1=3a_1=3\cdot16=48\) см, \(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac12.\) 

\(P_8=48\cdot\left(\dfrac12\right)^{8-1}=48\cdot\left(\dfrac12\right)^7=\)

\(=\dfrac{48}{128}=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)

Ответ: \(P_8=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике, если соединить середины его сторон, получится новый (вписанный) равносторонний треугольник.

2) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.

3) Периметр равностороннего треугольника со стороной \(a\):

\[ P=3a. \]

4) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.