Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№638 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Задайте формулой \(n\)-го члена последовательность \((a_n)\), если:
а) \((a_n)\) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;
б) \((a_n)\) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.
№638 учебника 2014-2022 (стр. 167):
(Для работы в парах.) Ежегодный доход по вкладу «Юбилейный» составляет 6%. Первоначальный вклад был равен 8000 р. Какая сумма будет на счёту у вкладчика:
а) через 4 года;
б) через 6 лет?
1) Обсудите, с какой последовательностью мы имеем дело в этой задаче.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните расчеты, используя калькулятор.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
№638 учебника 2023-2026 (стр. 182):
Вспомните:
№638 учебника 2014-2022 (стр. 167):
№638 учебника 2023-2026 (стр. 182):
а) \(a_1=5,\ a_2=10,\ a_3=15,\,\dots\)
\(a_n=5n\), где \(n \in N\).
б) \(a_1=1,\ a_2=6,\ a_3=11,\,\dots\)
\(a_n=5n - 4\), где \(n \in N\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Натуральные числа, кратные 5, имеют вид \(5\cdot k\), где \(k\in\mathbb{N}\).
2) Числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, имеют вид \(5\cdot k+1\).
а) Последовательность натуральных чисел, кратных 5.
К натуральным числам, кратным 5, относятся числа
\[5,\ 10,\ 15,\ 20,\ \dots\]
Каждое из них получается умножением натурального числа на 5:
\(5=5\cdot 1,\)
\(10=5\cdot 2,\)
\(15=5\cdot 3.\)
Если номер члена равен \(n\), то соответствующее число равно
\[a_n=5n.\]
б) Последовательность натуральных чисел, дающих остаток 1 при делении на 5.
Такие числа имеют вид
\[1,\ 6,\ 11,\ 16,\ \dots\]
Каждое из них можно представить в виде
\(1=5\cdot 0+1,\)
\(6=5\cdot 1+1,\)
\(11=5\cdot 2+1.\)
Если считать номером последовательности \(n=1,2,3,\dots\), то формулу удобно записать так:
\[a_n=5n-4.\]
Действительно, при \(n=1\) получаем \(a_1=1\), при \(n=2\) — \(a_2=6\), и так далее.
№638 учебника 2014-2022 (стр. 167):
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
а) \(b_1 = 80000,\ q = 1{,}06\).
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}= 8000\cdot(1{,}06)^4=\)
\(= 8000\cdot1{,}26247696 =\)
\(=10099{,}81568 \approx 10099,82\) (руб.) - будет на счёту у вкладчика через 4 года.
Ответ: \(10099,82\) руб.
б) \(b_7 = b_1\cdot q^{6} = 8000\cdot(1{,}06)^6=\)
\(= 8000\cdot1{,}418519 =\)
\(=11348,15\)(руб.) - будет на счёту у вкладчика через 6 лет.
Ответ: \(11348,15\) руб.
Пояснения:
В задаче используется геометрическая прогрессия, так как каждый год сумма вклада увеличивается в одинаковое число раз.
Если ежегодный доход составляет 6%, это означает, что каждый следующий год сумма на счёте умножается на коэффициент:
\[ q = 1 + \frac{6}{100} = 1{,}06. \]
Сумма вклада через несколько лет описывается формулой геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}, \]
где \(b_1\) — первоначальный вклад, \(q\) — коэффициент роста, \(n\) — номер года.
Через 4 года получается пятый член прогрессии, а через 6 лет — седьмой член, так как первый член соответствует начальному моменту времени.
Полученные значения округляются до сотых рубля (т.е. до копеек).
Вернуться к содержанию учебника