Упражнение 635 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Доказать, что разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(49^1-1=49-1=48\) - что кратно \(48\).

2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:

\(49^k-1\) кратно \(48\), то есть

\(49^k-1 = 48m\).

При \(n = k + 1\):

\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1=\]

\(=(49\cdot 49^k - 49) + 49 -1 =\)

\[=49\cdot(49^k-1)+48=\]

\[=49\cdot 48m+48=\]

\(=48\cdot(49m+1)\) - кратно 48.

\(49^{k+1}-1\) кратно \(48\), значит, \(49^n-1\) кратно \(48\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Если утверждение верно при \(n=1\) и из его верности при \(n = k\) следует верность при \(n = k+1\), то оно верно для всех натуральных \(n\).

2) Определение кратности: число \(A\) кратно числу \(B\), если существует целое число \(m\), такое что \(A=Bm\).

База индукции.

При \(n=1\) разность \(49^1-1\) равна \(48\), а \(48\) делится на \(48\) без остатка. Следовательно, утверждение верно при \(n=1\).

Индукционный переход.

Предположим, что при некотором натуральном \(n=k\) число \(49^k-1\) делится на \(48\), то есть

\[49^k-1=48m.\]

Рассмотрим выражение для следующего показателя степени \(n = k+1\):

\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1.\]

Прибавим и вычтем \(49\):

\[49\cdot 49^k-49+48=49\cdot(49^k-1)+48.\]

Подставляя индукционное предположение, получаем:

\[49\cdot(49^k-1)+48=49\cdot 48m+48.\]

Выносим \(48\) за скобки:

\[48\cdot(49m+1).\]

Так как \(49m+1\) — целое число, то всё выражение делится на \(48\).

Вывод.

Так как выполнены база и индукционный переход, то разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).

\(2,\ a,\ b,\ \dfrac14\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1 = 2,\ x_4 = \dfrac14\)

\(x_n=x_1q^{n-1}\)

\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)

\(q^3=\frac{x_4}{x_1}=\frac14:2=\frac18\)

\(q = \dfrac12\).

\(a = x_2 =x_1q= 2\cdot\dfrac12 = 1\).

\(b = x_3 =x_1q^2= 2\cdot\dfrac14 = \dfrac12\).

Ответ: \(a = 1;\) \(b =\dfrac12\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ x_n = x_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

В задаче известно, что прогрессия состоит из четырёх членов, поэтому последний член выражается формулой:

\[ x_4 = x_1 \cdot q^3. \]

Подставляя известные значения \(x_1 = 2\) и \(x_4 = \dfrac14\), получаем уравнение для нахождения знаменателя прогрессии. После нахождения \(q\) последовательно вычисляются второй и третий члены прогрессии:

\[ a = x_2 = x_1\cdot q,\quad b = x_3 = x_2\cdot q. \]

Таким образом, значения неизвестных членов равны \(a = 1\) и \(b = \dfrac12\).