Упражнение 630 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac13\,n(n+1)(n+2)\]

1) При \(n = 1\):

\[1\cdot 2=\frac13\cdot1\cdot(1+1)(1+2)\]

\[ 2=\frac{1}{\cancel3}\cdot2\cdot\cancel3\]

\(2 = 2\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+k(k+1)=\frac13\,k(k+1)(k+2)\]

При \(n = k+1\):

\(1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\)

\(=\frac13\,k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=\)

\(=(k+1)(k+2)\left(\frac13\,k+1\right)=\)

\(=(k+1)(k+2)\cdot\frac{1}{3}(k+3)=\)

\(=\frac13\,(k+1)(k+2)(k+3).\)

Равенство верно при \(n = k + 1\), значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:

1)) проверить верность при \(n=1\) (база индукции);

2) предположить, что утверждение верно при некотором \(n = k\) (индукционное предположение), и доказать, что тогда оно верно при \(n=k+1\) (индукционный переход).

а) \(b_6 = 3,\ q = 3\);

\(b_6 = b_1\cdot q^{6-1}\).

\(b_1 =\frac{b_6}{q^5}= \dfrac{3}{3^5} = \dfrac{1}{3^4}= \dfrac{1}{81}\).

Ответ: \(b_1= \dfrac{1}{81}\).

б) \(b_5 = 17\dfrac12,\ q = -2\dfrac12\).

\(b_5 = b_1\cdot q^{5-1}\).

\(b_1 =\frac{b_5}{q^4}=\frac{17\frac{1}{2}}{(-2\frac{1}{2})^4}=\)

\(=\dfrac{35}{2}:\biggl(-\dfrac{5}{2}\biggr)^4=\dfrac{35}{2}:\dfrac{625}{16}=\)

\(=\dfrac{35}{2}\cdot\dfrac{16}{625} =\frac{\cancel{35}{\color{red}{^7}}\cdot\cancel{16}{\color{blue}{^8}}}{\cancel2_{\color{blue}{1}}\cdot \cancel{625}_{\color{red}{125}}} = \dfrac{56}{125}\).

Ответ: \(b_1= \dfrac{56}{125}\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\[ b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \]

В пункте а) подставляется \(n=6\) и значение знаменателя \(q=3\).

В пункте б) сначала смешанные числа переводятся в неправильные дроби, затем возводится знаменатель прогрессии в четвёртую степень и выполняется деление, что позволяет найти значение первого члена прогрессии.