Упражнение 496 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x+y+xy=5,\\ xy+x-y=13 \end{cases}\)  \((-)\)

\((xy+x-y)-(xy+x+y)=13-5\)

\(xy+x-y-xy-x-y=8\)

\(-2y=8\)

\(y = -\frac82\)

\(y=-4\)

\(x+(-4)+x\cdot(-4)=5\)

\(x-4-4x=5\)

\(-3x = 5 + 4\)

\(-3x=9\)

\(x = -\frac93\)

\(x=-3\)

Ответ: \((-3,-4)\).

б) \(\begin{cases} x+xy+y=10,\\ xy-2x-2y=2 \end{cases}\) \((-)\)

\((x+xy+y)-(xy-2x-2y)=10-2\)

\(x+xy+y-xy+2x+2y=8\)

\(3x+3y=8\)   \(/ : 3\)

\(x+y=\dfrac{8}{3}\)

\(y=\dfrac{8}{3}-x\)

\(x+x\left(\dfrac{8}{3}-x\right)+\left(\dfrac{8}{3}-x\right)=10\)

\(x+\dfrac{8}{3}x-x^2+\dfrac{8}{3}-x=10\) \(/\times3\)

\(3x + 8x - 3x^2 + 8 - 3x = 30\)

\(-3x^2 + 8x + 8 - 30=0\)

\(-3x^2 + 8x -22=0\)   \(/\times(-1)\)

\(3x^2-8x+22=0\)

\(D=(-8)^2-4\cdot3\cdot22=\)

\(=64-264=-200 < 0\) - корней нет.

Ответ: система не имеет решения.

Пояснения:

При решении каждой системы используем метод вычитания:

1) вычесть почленно левые и правые части уравнений;

2) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге или выразить одну переменную через другую;

3) подставить найденное на третьем шаге значение переменной или выражение для одной из переменных в любое из уравнений исходной системы;

4) вычислить значение другой переменной.

Квадратное уравнение

\(ax^2+bx+c=0\)

решаем через дискриминант

\(D=b^2-4ac.\)

Если \( D<0\), то действительных корней уравнение не имеет.

а) В обоих уравнениях присутствуют одинаковые слагаемые \(xy\) и \(x\). Поэтому удобно вычесть первое уравнение из второго: эти слагаемые сократятся, и останется уравнение только с \(y\). Мы получили \(-2y=8\), то есть \(y=-4\). Подставив найденное \(y\) в первое уравнение, нашли \(x\). Система имеет одно решение.

б) Здесь также есть общий член \(xy\). Если из первого уравнения вычесть второе, то \(xy\) сократится, и получится линейная связь между \(x\) и \(y\):

\(x+y=\dfrac{8}{3}\). После подстановки

\(y=\dfrac{8}{3}-x\) в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\). Дискриминант оказался отрицательным (\(D=-200\)), значит действительных значений \(x\) нет, следовательно, система не имеет решений.

\(\begin{cases} x^2 - 2y > 7,\\ 3x + y > 3 \end{cases} \)

а) \((4;2)\)

\(\begin{cases}4^2 - 2\cdot2 > 7,\\ 3\cdot4 + 2 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases}16 - 4 > 7,\\ 12 + 2 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases}12 > 7-\text{верно},\\ 14> 3-\text{верно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((4;2)\) является решением.

б) \((-5;1)\)

\(\begin{cases} (-5)^2 - 2\cdot1 > 7,\\ 3\cdot(-5) + 1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 25-2> 7,\\ -15 + 1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 23> 7-\text{верно},\\ -14 > 3-\text{неверно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((-5;1)\) не является решением.

в) \((-2;-1)\)

\(\begin{cases} (-2)^2 - 2\cdot(-1) > 7,\\ 3\cdot(-2) + (-1) > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 4 +2 > 7,\\ -6 -1 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6 > 7-\text{неверно},\\ -7 > 3-\text{неверно.} \end{cases} \)

Ответ: парачисел  \((-2;-1)\) не является решением.

г) \((6;-5)\)

\(\begin{cases} 6^2 - 2\cdot(-5) > 7,\\ 3\cdot6 + (-5) > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 36 +10 > 7,\\ 18-5 > 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 46 > 7-\text{верно},\\ 13 > 3-\text{верно.} \end{cases} \)

Ответ: пара чисел \((6;-5)\) является решением.

Пояснения:

Чтобы проверить, является ли пара \((x_0,y_0)\) решением системы неравенств, нужно:

1) подставить \(x_0\) и \(y_0\) в каждое неравенство;

2) вычислить левую часть каждого неравенства;

3) проверить, является ли верным неравенство;

4) пара является решением, только если выполняются все неравенства системы.

В пункте а) оба неравенства верны.

В пунктах б) и в) хотя бы одно неравенство неверно → пара не подходит.

В пункте г) оба неравенства верны.