Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№495 учебника 2023-2026 (стр. 145):
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ x^2-2x+y=-5; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} y^2+3x-y=1,\\ y^2+6x-2y=1. \end{cases}\)
№495 учебника 2014-2022 (стр. 130):
Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4. \end{cases} \]
№495 учебника 2023-2026 (стр. 145):
Вспомните:
№495 учебника 2014-2022 (стр. 130):
Вспомните:
№495 учебника 2023-2026 (стр. 145):
а) \(\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ x^2-2x+y=-5 /\times4\end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2+3x-4y=20,\\ 4x^2-8x+4y=-20 \end{cases}\) \((+)\)
\(5x^2-5x=0\)
\(5x(x - 1)=0\)
\(x = 0\) или \(x - 1 = 0\)
\(x = 1\)
Если \(x = 0\), то
\(0^2-2\cdot0+y=-5 \)
\(y = - 5\).
Если \(x = 1\), то
\(1^2-2\cdot1+y=-5 \)
\(1 - 2 + y = -5\)
\(-1 + y = -5\)
\(y = -5 + 1\)
\(y = - 4\)
Ответ: \((0;\,-5),\; (1;\,-4)\).
б) \(\begin{cases} y^2+3x-y=1, /\times(-2)\\ y^2+6x-2y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -2y^2-6x+2y=-2, \\ y^2+6x-2y=1 \end{cases}\) \((+)\)
\(-y^2 = -1\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm\sqrt1\)
\(y = \pm1\)
1) Если \(y = 1\), то
\(1^2+3x-1=1\)
\(1 + 3x -1 = 1\)
\(3x = 1\)
\(x =\frac13\)
2) Если \(y = -1\), то
\((-1)^2+3x+1=1\)
\(1 + 3x +1 = 1\)
\(3x + 2 = 1\)
\(3x = 1-2\)
\(3x =-1\)
\(x =-\frac13\)
Ответ: \(\left(\dfrac{1}{3};\,1\right),\; \left(-\dfrac{1}{3};\,-1\right)\).
Пояснения:
При решении каждой системы используем метод сложения:
1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;
3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
5) вычислить значение другой переменной.
№495 учебника 2014-2022 (стр. 130):
\( \begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - y)^2 = 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - (5x - 2))^2 = 4 \end{cases} \)
\((x - (5x - 2))^2 = 4 \)
\((x - 5x + 2)^2 = 4 \)
\((2-4x)^2 = 4 \)
\(4-16x+16x^2 = 4 \)
\(16x^2-16x = 0 \)
\( 16x^2 - 16x = 0 \)
\(16x(x - 1) = 0\)
\(x = 0\) или \(x-1=0\)
\(x=1\)
1) Если \(x = 0\), то
\(y = 5\cdot0 - 2 = -2.\)
2) Если \(x = 1\), то
\(y = 5\cdot1 - 2 = 3.\)
Ответ: \((0; -2)\); \((1; 3).\)
Пояснения:
В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:
1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.
3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.
4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.
1. Первое уравнение линейное, поэтому легко выразить одну переменную, например:
\[ y = 5x - 2. \]
2. Второе уравнение имеет вид:
\[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2. \]
Это удобная форма, но можно решать и прямой подстановкой.
3. После подстановки получили квадратное уравнение относительно \(x\), которое разложили на множители:
\[ 16x(x - 1)=0. \]
4. После нахождения значений \(x\) легко получили соответствующие \(y\) из линейного выражения.
Итак, система имеет два решения: \((0; -2)\) и \((1; 3)\).
Вернуться к содержанию учебника