Упражнение 487 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2-y^2=5\)

\((x-y)(x+y)=5 \)

\( 5=1\cdot 5;\)

\(5 =(-1)\cdot(-5). \)

1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 5 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 5\)

\(y = 5-3\)

\(y = 2\)

2) \( \begin{cases} x - y = 5,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac{6}{2}\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 1\)

\(y = 1-3\)

\(y = -2\)

3) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -5 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac{6}{2}\)

\(x = -3\)

\(-3+y=-5\)

\(y = -5 + 3\)

\(y = -2\)

4) \( \begin{cases} x - y = -5,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac{6}{2}\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = -1\)

\(y = -1 + 3\)

\(y = 2\)

Ответ: \((3;2),\;(3;-2),\)

\((-3;-2),\;(-3;2)\).

б) \( x^2-y^2=8\)

\((x-y)(x+y)=8 \)

\( 8=1\cdot 8;\;\,2\cdot 4;\)

\(8=(-1)\cdot(-8);\;\,(-2)\cdot(-4). \)

1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 8 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac92\)

\(x = 4,5\) - не является целым.

2) \( \begin{cases} x - y = 8,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac92\)

\(x = 4,5\) - не является целым.

3) \( \begin{cases} x - y = 2,\\ x + y = 4 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac62\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 4\)

\(y = 4 - 3\)

\(y = 1\)

4) \( \begin{cases} x - y = 4,\\ x + y = 2 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = 6\)

\(x = \frac62\)

\(x = 3\)

\(3 + y = 2\)

\(y = 2 - 3\)

\(y = -1\)

5) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -8 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -9\)

\(x = -\frac92\)

\(x = -4,5\) - не является целым.

6) \( \begin{cases} x - y = -8,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -9\)

\(x = -\frac92\)

\(x = -4,5\) - не является целым.

7) \( \begin{cases} x - y = -2,\\ x + y = -4 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac62\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = - 4\)

\(y = -4 + 3 \)

\(y = -1\)

8) \( \begin{cases} x - y = -4,\\ x + y = -2 \end{cases} \) \((+)\)

\(2x = -6\)

\(x = -\frac62\)

\(x = -3\)

\(-3 + y = -2\)

\(y = -2 + 3 = 0\)

\(y=1\)

Ответ: \((3;1),\;(3;-1),\)

\((-3;-1),\;(-3;1)\).

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Разность квадратов раскладывается по формуле:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

2. Для поиска целых решений нужно рассматривать только такие разложения числа на множители, при которых система:

\[ \begin{cases} x-y=m,\\ x+y=n \end{cases} \]

даёт целые значения \(x\) и \(y\), то есть \(m\) и \(n\) должны быть одной чётности.

3. При решении систем используем метод сложения.

Пояснение к заданиям:

В каждом пункте уравнение сведено к произведению двух целых множителей. Перебором всех возможных разложений числа 5 и 8 на множители найдены только те случаи, которые дают целые значения \(x\) и \(y\). Именно они и образуют множество целых решений.

а) \(y \le x^2 - 4\);

\(y = x^2 - 4\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((0; -4)\)

б) \(y \ge (x - 2)^2 - 1\)

\(y=(x - 2)^2 - 1\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((2; -1)\)

в) \(x^2 + y^2 \le 25\);

\(x^2 + y^2 = 25\) 

Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом равным \(5.\)

г) \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\).

\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\)

Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке \((1; 2)\) и радиусом равным \(2.\)

Пояснения:

Основные правила, используемые при решении:

1) Уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\) задаёт параболу. Неравенства вида \(y \le f(x)\) или \(y \ge f(x)\), где \(f(x)\) — квадратный трёхчлен, задают полуплоскость относительно параболы: ниже графика (\(\le\)) или выше (\(\ge\)).

2) Уравнение вида \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\) задаёт окружность с центром в точке \((x_0; y_0)\) и радиусом \(R\). Неравенства \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < R^2\) и \(\le R^2\) задают соответственно внутренность окружности без границы и с границей.

Пояснение к пункту а)

Функция \(y = x^2 - 4\) — парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке \((0; -4)\). Неравенство \(y \le x^2 - 4\) означает, что для каждой точки \((x; y)\) её координата \(y\) не больше значения параболы. Поэтому штрихуется область под графиком параболы, включая саму линию.

Пояснение к пункту б)

График \(y = (x - 2)^2 - 1\) — парабола, полученная переносом стандартной параболы \(y = x^2\) на 2 единицы вправо и 1 единицу вниз. Её вершина в точке \((2; -1)\), ветви также вверх.

Неравенство \(y \ge (x - 2)^2 - 1\) задаёт все точки, у которых \(y\) не меньше значения параболы, то есть область над параболой, включая её.

Пояснение к пункту в)

Выражение \(x^2 + y^2\) — это квадрат расстояния от точки \((x; y)\) до начала координат \((0; 0)\). Уравнение

\[x^2 + y^2 = 25\]

описывает окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(R = 5\), так как \(R^2 = 25\).

Неравенство \(x^2 + y^2 < 25\) означает, что квадрат расстояния меньше \(25\), то есть расстояние от точки до начала координат меньше \(5\). Значит, это все точки внутри окружности радиуса \(5\), но сама окружность не входит (строгий знак).

Пояснение к пункту г)

Запишем окружность:

\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4.\]

Центр окружности \((1; 2)\), радиус \(R = 2\), так как \(R^2 = 4\).

Неравенство \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4\) говорит, что расстояние от точки \((x; y)\) до центра \((1; 2)\) не превосходит \(2\). Значит, на координатной плоскости нужно изобразить круг радиуса \(2\) с центром \((1; 2)\) вместе с границей (окружностью).

Итак, для каждого пункта строим соответствующую параболу или окружность как границу и затем отмечаем нужную часть плоскости: ниже/выше параболы или внутри круга.