Упражнение 380 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2 + y^2 = 9\) и \(x^2 + y^2 = 16\)

1) \(M(5;\,5)\)

\(5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 > 16\) — за пределами круга, ограниченного большой окружностью

2) \(N(1;\,-2)\)

\(1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 < 9\) — часть плоскости, ограниченная малой окружностью.

3) \(P(3{,}6;\,0)\)

\(3{,}6^2 + 0^2 = 12{,}96 < 16\)

и \(12{,}96 > 9\) — в кольце.

4) \(Q(4{,}001;\,-0{,}5)\)

\(4{,}001^2 + (-0{,}5)^2 = \)

\(=16{,}008001 + 0{,}25 = \)

\(=16{,}258001 > 16\) — за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Пояснения:

Общий вид уравнения окружности с центром в начале координат:

\(x^2 + y^2 = r^2\),

\(r\) - ее радиус.

Точка \((x, y)\) принадлежит кругу радиуса \(R\), если:

\[ x^2 + y^2 < r^2. \]

Принадлежит окружности, если:

\[ x^2 + y^2 = r^2. \]

Находится вне круга, если:

\[ x^2 + y^2 > r^2. \]

\((b-1)x^2 + 6x + b - 3 = 0\)

1) \(b - 1 \ne0\)

    \(b \ne 0\)

2) \( D = 6^2 - 4(b-1)(b-3) =\)

\(= 36 -4 (b^2 - 3b - b + 3) =\)

\(= 36 - 4(b^2 - 4b + 3) =\)

\(= 36 - 4b^2 + 16b - 12= \)

\( = -4b^2 + 16b + 24\).

Уравнение не имеет корней,

если \( D < 0\).

\[ -4b^2 + 16b + 24 < 0\]

\(y = -4b^2 + 16b + 24 \) -  парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-4b^2 + 16b + 24 = 0\)  \(/ : (-4)\)

\[ b^2 - 4b - 6 = 0 \]

\([ D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=16 + 24 = 40 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{40} = \sqrt{4\cdot10} = 2\sqrt{10}\)

\( b_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}. \)

Ответ: \(x \in(- \infty; 2 - \sqrt{10}) \cup ( 2 + \sqrt{10}; + \infty )\).

Пояснения:

Чтобы квадратное уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным.

Перед этим важно проверить случай, когда коэффициент при \(x^2\) равен нулю — это приводит к линейному уравнению, которое имеет один корень, что нам не подходит.

Дискриминант получился квадратным трёхчленом по \(b\), и задача свелась к решению квадратного неравенства.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.