Упражнение 289 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0\)

\((x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0\)

или  \(x + 9 = 0\)

        \(x = -9\)

или  \(x - 2 = 0\)

        \(x = 2\)

или  \(x - 15 = 0\)

        \(x = 15\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)\).

б) \(x(x - 5)(x + 6) > 0\)

\(x(x - 5)(x + 6) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x + 6 = 0\)

        \(x = -6\)

Ответ: \(x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)\).

в) \((x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0\)

\((x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x = 4\)

или  \(x - 8 = 0\)

        \(x = 8\)

или  \(x - 16 = 0\)

        \(x = 16\)

Ответ: \(x \in (1; 4) \cup (8; 16)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{5y^{3}-15y^{2}-2y+6}{y^{2}-9}=0\)

ОДЗ: \(y^2 - 9 \ne 0\)

          \(y^2 = 9\)

          \(y \ne \pm3\)

\(5y^{3}-15y^{2}-2y+6=0\)

\(5y^{2}(y-3)-2(y-3)=0\)

\((y-3)(5y^{2}-2)=0\)

или \(y-3=0 \)

       \(y=3\) — не является корнем.

или \( 5y^{2}-2=0\)

       \(5y^{2}=2\)

       \(y^{2}=\dfrac{2}{5} \)

       \(y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}.\)

Ответ: \(y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}\).

б) \(\dfrac{3y^{3}-12y^{2}-y+4}{9y^{4}-1}=0\)

ОДЗ: \(9y^4 - 1 \ne0\)

\((3y^2 - 1)(3y^2 + 1) \ne0\)

\(3y^2 - 1\ne 0\)  и  \(3y^2 + 1 \ne0\)

\(3y^2 \ne 1\)              \(3y^2 \ne -1\)

\(y^2 \ne \frac13\)               \(y^2 \ne -\frac13\) - нет корней.

\(y \ne \pm\sqrt{\frac13}\)

\(3y^{3}-12y^{2}-y+4=0\)

\(3y^{2}(y-4)-1(y-4)=0\)

\((y-4)(3y^{2}-1)=0\)

или  \(y - 4 = 0\)

        \(y = 4;\)

или  \(3y^2 - 1 = 0\)

        \(3y^2 = 1\)

        \(y^2 = \frac13\)

        \(y = \pm\sqrt{\frac13}\) — не являются корнями.

Ответ: \(y=4.\)

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) приравнять числитель к нулю;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

При решении целых уравнений сначала разложили на множители левую часть уравнения, затем каждый множитель приравняли к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Для разложения многочленов на множители использовались приёмы группировки и вынесение общего множителя из группы, а также формулу разности квадратов:

\[ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \]