Упражнение 286 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + 25)(x - 30) < 0\)

\((x + 25)(x - 30) = 0\)

\(x + 25 = 0\)  или  \(x - 30 = 0\)

\(x = -25\)              \( x = 30\)

Ответ: \(x \in (-25; 30) \).

б) \((x + 6)(x - 6) > 0\)

\((x + 6)(x - 6) = 0\)

\(x + 6=0\)   или   \(x - 6= 0\)

\(x = -6\)                \(x = 6\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)\).

в) \(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x - \dfrac{1}{5}\right) \le 0\)

\(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x - \dfrac{1}{5}\right) = 0\)

\(x - \dfrac{1}{3}=0\)  или  \(x - \dfrac{1}{5}=0\)

\(x = \dfrac{1}{3}\)                 \( x = \dfrac{1}{5}\)

Ответ: \(x \in \left[\dfrac{1}{5}; \dfrac{1}{3}\right] \).

г) \((x + 0{,}1)(x + 6{,}3) \ge 0\)

\((x + 0{,}1)(x + 6{,}3) \ge 0\)

\(x + 0{,}1 = 0\)   или   \(x + 6{,}3= 0\)

\(x = -0{,}1\)                \( x = -6{,}3\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(13(5x - 1) - 15(4x + 2) < 0\)

\(65x - 13 - 60x - 30 < 0\)

\(5x - 43 < 0\)

\(5x < 43\)

\(x < \dfrac{43}{5}\)

\(x < 8,6\)

Ответ: \(x \in (-\infty;\,8,6)\).

б) \(6(7 - 0{,}2x) - 5(8 - 0{,}4x) > 0\)

\(42 - 1{,}2x - 40 + 2x > 0\)

\(2 + 0{,}8x > 0\)

\(0{,}8x > -2\)

\(x > \dfrac{-2}{0{,}8}\)

\(x > -\dfrac{20}{8}\)

\(x > -\dfrac{5}{2}\)

\(x > -2,5\)

Ответ: \(x \in \left(-2,5;\, +\infty\right)\).

Пояснения:

Сначала напомним основные правила, которые использовались:

1) При раскрытии скобок каждый член внутри скобок умножается на число перед скобками: \[ a(b + c) = ab + ac. \]

2) При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный.

3) При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.