Упражнение 277 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1\)

\(x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0\)

\(2x^2 - 3x + 2 > 0\)

\(y = 2x^2 - 3x + 2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 =\)

\(=9 - 16 = -7 < 0\) - нет корней.

Ответ: \(x\) - любое число.

б) \(-2x^2 + 10x < 18 - 2x\)

\(-2x^2 + 10x - 18 + 2x < 0\)

\(-2x^2 + 12x - 18 < 0\)

\(y = -2x^2 + 12x - 18\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-2x^2 + 12x - 18 = 0\)   \( / : (-2)\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x-3)^2 = 0\)

\(x-3=0\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x \ne 3\).

Пояснения:

Выполняем перенос компонентов из правой части уравнения в левую со сменой знака и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной),

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В пункте б) нашли корень квадратного трехчлена без дискриминанта, так как рассматриваемый квадратный трехчлен модно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

а) \((x^{2} + 3)^{2} - 11(x^{2} + 3) + 28 = 0\)

Пусть \( x^{2} + 3 = y\).

\(y^{2} - 11y + 28 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 28\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-11)^2 - 4 \cdot1 \cdot 28 =\)

\( = 121 - 112 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 3\).

\(y_{1} = \dfrac{11 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{14}{2} = 7. \)

\(y_{2} = \dfrac{11 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4. \)

1) Если \(y = 7\), то

\(x^{2} + 3 = 7\)

\(x^{2} = 7 - 3\)

\(x^{2} = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

2) Если \(y = 4\), то

\(x^{2} + 3 = 4\)

\(x^{2} = 4 - 3\)

\(x^{2} = 1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm 1\)

Ответ: \(x = -2,\; -1,\; 1,\; 2.\)

б) \((x^{2} - 4x)^{2} + 9(x^{2} - 4x) + 20 = 0\)

Пусть \(x^{2} - 4x = y\).

\(y^{2} + 9y + 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = 20\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(= 9^2 - 4 \cdot1 \cdot 20 =\)

\( =81 - 80 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 1\).

\(y_{1} = \dfrac{-9 + 1}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)

\(y_{2} = \dfrac{-9 - 1}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5. \)

1) Если \(y = -5\), то

\(x^{2} - 4x = -5\)

\(x^{2} - 4x + 5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=16 - 20 = -4 < 0\) — нет действительных корней.

2) Если \(y = -4\), то

\(x^{2} - 4x = -4\)

\(x^{2} - 4x + 4 = 0\)

\((x - 2)^{2} = 0\)

\(x - 2 = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 2.\)

в) \((x^{2} + x)(x^{2} + x - 5) = 84\)

Пусть \(x^{2} + x=y\).

\(y(y - 5) = 84\)

\(y^{2} - 5y - 84 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -84\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-84) =\)

\(=25 + 336 =361 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 19\).

\(y_{1} = \dfrac{5 + 19}{2\cdot1} = \dfrac{24}{2} = 12. \)

\(y_{2} = \dfrac{5 - 19}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7. \)

1) Если \(y = 12\), то

\(x^{2} + x = 12\)

\(x^{2} + x - 12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)

\(=1 + 48 =49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 7\).

\(x_{1} = \dfrac{-1 + 7}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3. \)

\(x_{2} = \dfrac{-1 - 7}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)

2) Если \(y = -7\), то

\(x^{2} + x = -7\)

\(x^{2} + x + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot7 =\)

\(=1 - 28 = -27 < 0\)  — нет действительных корней.

Ответ: \(x = -4,\; x = 3.\)

Пояснения:

В этих уравнениях неоднократно встречаются одни и те же выражения в разных степенях или в произведении. Это позволяет использовать приём введения новой переменной.

Если уравнение содержит повторяющееся выражение, например \(x^{2} + 3\) или \(x^{2} - 4x\), удобно обозначить его через новую переменную:

\( y = x^{2} + 3,\)

\(y = x^{2} - 4x,\)

\(y = x^{2} + x. \)

Тогда исходное уравнение превращается в квадратное по \(y\).

Формула корней квадратного уравнения.

Для уравнения \(\;az^{2} + bz + c = 0\;\) используется формула:

\( D = b^{2} - 4ac,\)

\(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

 После нахождения значений \(y\) обязательно возвращаемся к исходной переменной \(x\): решаем уравнения вида

\( x^{2} + 3 = y,\)

\(x^{2} - 4x = y,\)

\(x^{2} + x = y. \)

Эти уравнения тоже квадратные по \(x\) и решаются стандартно; при отрицательном дискриминанте действительных корней нет, такие случаи отбрасываются.