Упражнение 270 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^2 + bx + 3 = 0\)

\(D = b^2 - 4\cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36\)

\(b^2 - 36 > 0\)

\(y = b^2 - 36\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(b^2 - 36 = 0\)

\(b^2 = 36\)

\(b = \pm \sqrt {36}\)

\(b = \pm6\)

Ответ: \(b \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)\).

б) \(x^2 + 2bx + 15 = 0\)

\(D = (2b)^2 - 4\cdot 1 \cdot 15 =\)

\(=4b^2 - 60.\)

\(4b^2 - 60 > 0\)

\(y = 4b^2 - 60\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(4b^2 - 60 = 0\)

\(4b^2 = 60\)

\(b^2 = \frac{60}{4}\)

\(b^2 = 15\)

\(b = \pm \sqrt{15}\)

Ответ: \(b \in (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; +\infty)\).

Пояснения:

Основное правило:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет два различных корня, если дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac > 0.\]

Решение неравенств вида

\(ax^2 + с > 0\):

1) находим корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

Пусть исходное ребро куба равно \(x\) см, тогда его объем \(x^3\) см³. Новый куб имеет ребро \(x + 3\), тогда его объем \((x+3)^3\) см³. Известно, что объем нового куба на \(513\) см³ больше.

Составим уравнение:

\((x + 3)^{3} - x^{3} = 513\)

\(\cancel{x^{3}} + 9x^{2} + 27x + 27 - \cancel{x^{3}} = 513\)

\(9x^{2} + 27x + 27 = 513\)

\(9x^{2} + 27x + 27 - 513 = 0\)

\(9x^{2} + 27x - 486 = 0\)   \(/ : 9\)

\(x^{2} + 3x - 54 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -54\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-54) =\)

\(= 9 + 216 = 225.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{D} = 15.\)

\(x_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6.\)

\(x_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: ребро куба равно \(6\) см.

Пояснения:

1. Формула объёма куба:

\[V = a^{3},\]

где \(a\) — длина ребра.

2. При увеличении ребра на 3 см новый объём равен:

\[(x + 3)^{3}.\]

3. Условие задачи означает разность объёмов:

\[(x + 3)^{3} - x^{3} = 513.\]

4. Используем формулу куба суммы:

\[(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\]

Подставив \(a=x\) и \(b=3\), получили выражение \(x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27\).

5. После сокращения и переноса получили квадратное уравнение, которое решается по дискриминанту.

6. Второй корень отрицательный, а длина ребра не может быть отрицательной, поэтому верный ответ один: \(x = 6\).