Упражнение 354 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = \dfrac{4}{\sqrt{(3x - 1)(6x + 1)}}\)

\( (3x - 1)(6x + 1) > 0\)

\( (3x - 1)(6x + 1) = 0\)

\(3x - 1 = 0\)  или  \(6x + 1 = 0\)

\(3x = 1\)                  \(6x = -1\)

\(x = \frac13\)                   \(x = -\frac16\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac16)\cup\left(\tfrac13,\,+\infty\right). \)

б) \(y = \dfrac{7}{\sqrt{(11x + 2)(x - 4)}}\).

\( (11x + 2)(x - 4) > 0\)

\(11x + 2 = 0\)  или  \(x - 4 = 0\)

\(11x = -2\)              \(x = 4\)

\(x = -\frac{2}{11}\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac{2}{11})\cup(4,\,+\infty). \)

Пояснения:

Корень \(\sqrt{A}\) существует только при \(A \ge 0\), но так как он находится в знаменателе, случай \(A=0\) исключается. Поэтому требуется строгое неравенство: \(A>0\).

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(x^3 - x^2 - 4(x - 1)^2 = 0\)

\(x^2(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0\)

\((x - 1)(x^2 -4(x - 1) = 0\)

\((x - 1)(x^2 -4x + 4) = 0\)

\((x - 1)(x - 2)^2 = 0\)

\(x - 1 = 0\)  или  \((x - 2)^2 = 0\)

                             \(x - 2 = 0\)

                             \(x = 2\)

Ответ: \(1;\; 2\).

б) \(2y^3 + 2y^2 - (y + 1)^2 = 0\)

\(2y^3(y + 1) - (y + 1)^2 = 0\)

\((y + 1)(2y^2 - (y + 1)) = 0\)

\((y + 1)(2y^2 - y - 1) = 0\)

\(y + 1 = 0\)

\(y = -1\)

или \(2y^2 - y - 1 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-1) =\)

\(= 1 + 8 =9 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt9 = 3\).

\(x_1 = \frac{1 + 3}{2\cdot2} = \frac44 = 1\).

\(x_2 = \frac{1 - 3}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} =-\frac12=-0,5\).

Ответ: \( -1;\; -0,5;\; 1.\)

в) \(5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = 0\)

\((5x^3 + 40) - (19x^2 + 38) =0\)

\(5(x^3 + 8) - 19x(x + 2) = 0\)

\(5(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 19x(x+2) = 0\)

\((x + 2) (5(x^2 - 2x + 4) - 19x) =0\)

\((x + 2) (5x^2 - 10x + 20 - 19x) =0\)

\((x + 2)(5x^2 -29x + 20)=0\)

\(x + 2 = 0\)

\(x = -2\)

или  \(5x^2 -29x + 20=0\)

\(D =(-29)^2 - 4 \cdot5\cdot 20 =\)

\(=841 - 400 = 441 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {441} = 21\).

\(x_1 = \frac{29 + 21}{2\cdot5} =\frac{50}{10} = 5\).

\(x_2 = \frac{29 - 21}{2\cdot5} =\frac{8}{10} = 0,8\).

Ответ: \( -2;\; 0,8;\; 5.\)

г) \(6x^3 - 31x^2 - 31x + 6 = 0\)

\((6x^3 + 6) - (31x^2 + 31x) = 0\)

\(6(x^3 + 1) - 31x(x + 1) = 0\)

\(6(x + 1)(x^2 - x + 1) - 31x(x + 1) = 0\)

\((x + 1) (6(x^2 - x + 1) - 31x) = 0\)

\(( x + 1) (6x^2 - 6x + 6 - 31x) = 0\)

\(( x + 1) (6x^2 - 37x + 6 ) = 0\)

\(x + 1= 0\)

\(x = -1\)

или \(6x^2 - 37x + 6 = 0\)

\(D = (-37)^2 - 4\cdot 6 \cdot 6 = \)

\(= 1369 - 144 = 1225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {1225} = 35\).

\(x_1 = \frac{37 + 35}{2\cdot6} = \frac{72}{12} = 6\).

\(x_2 = \frac{37 - 35}{2\cdot6} = \frac{2}{12} = \frac16\).

Ответ: \( -1;\; \frac16;\; 6.\)

Пояснения:

Чтобы решить уравнения, раскладывали левую часть на множители, используя способ группировки и в пунктах в) и г) формулу суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2\).

Затем использовали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Квадратное уравнение вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)