Упражнение 108 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(f(x) = -x^2 + 5x^4\)

\(f(-x) = -(-x)^2 + 5(-x)^4 =\)

\(=-x^2 + 5x^4 = f(x).\)

\(f(-x) = f(x)\), значит, функция \(f(x)\) четная.

б) \(f(x) = \frac3x\)

\(f(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac3x = - f(x) \)

\(f(-x) = -f(x)\), значит, функция \(f(x)\) нечетная.

в) \(f(x) = 2x + |x| \)

\(f(-x) = 2(-x) + |-x| =\)

\(=-2x + |x| = -(2x - |x|).\)

\(f(-x) \ne f(x)\) и \(f(-x) \ne -f(x)\), значит, функция \(f(x)\) ни четная и ни нечетная.

Пояснения:

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y)\);

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Следовательно, функция \(y = f(x)\) является четной, если для любых значений \(x\) из области определения функции справедливо равенство \(f(-x) = f(x) \).

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Следовательно, функция \(y = f(x)\) является нечетной, если для любых значений \(x\) из области определения функции справедливо равенство \(f(-x) = -f(x) \).

Свойство нечетной степени:

\((-x)^3 = -x^3\).

Свойство четной степени:

\((-x)^2 = x^2\), \((-x)^4 = x^4\),

Противоположные выражения:

\(-a + b = -(a - b)\).

Модуль числа принимает только неотрицательные значения, поэтому \(|-x| = |x|\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).

\( y = x^{2}\)

а) \( y = x^{2} + 2 \)

б) \( y = -x^{2} - 1 \)

в) \( y = (x + 4)^{2} \)

г) \( y = -(x - 3)^{2} \)

Пояснения:

1. Общий вид параболы

\[ y = (x - a)^{2} + b \]

Вершина имеет координаты \((a; b)\).

Если \(a>0\) — сдвиг вправо, если \(a<0\) — влево.

Если \(b>0\) — сдвиг вверх, если \(b<0\) — вниз.

а) Графиком функции \( y = x^{2} + 2\) является парабола \(y = x^{2}\), смещённая вверх на 2 единицы. Вершина: \((0; 2)\). Ветви направлены вверх. 

б) Графиком функции \( y = -x^{2} - 1 \) является парабола \(y = x^{2}\), отражённая относительно оси \(Ox\) и сдвинутая вниз на 1 единицу. Вершина: \((0; -1)\). Ветви направлены вниз.

в) Графиком функции \( y = (x + 4)^{2} \) является парабола \(y = x^{2}\), сдвинутая влево на 4 единицы. Вершина: \((-4; 0)\). Ветви направлены вверх.

г) Графиком функции \( y = -(x - 3)^{2}\) является парабола \(y = x^{2}\), сдвинутая вправо на 3 единицы, отраженная относительно оси \(Ox\). Вершина: \((3; 0)\). Ветви направлены вверх.