Упражнение 1152 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( y = f(x) \) — возрастающая функция и \( a \) — некоторое число.

Пусть уравнение \( f(x) = a \) имеет два различных корня \( x_1 \) и \( x_2 \), то есть

\( x_1 \ne x_2 \) и \( f(x_1) = f(x_2) = a. \)

Так как функция \( f(x) \) — возрастающая, то при \( x_1 < x_2 \) выполняется неравенство:

\[ f(x_1) < f(x_2). \]

Однако это противоречит условию \( f(x_1) = f(x_2) = a. \)

Следовательно, наше предположение неверно, и уравнение \( f(x) = a \) может иметь не более одного корня.

Пояснения:

Возрастающая функция обладает свойством:

если \( x_1 < x_2 \), то \( f(x_1) < f(x_2) \).

Это означает, что одно и то же значение функции не может повторяться при разных \(x\). Следовательно, горизонтальная прямая \(y = a\) может пересечь график возрастающей функции не более чем в одной точке — то есть уравнение \( f(x) = a \) имеет не более одного решения.

Пусть всего точек \(x\), тогда через них можно провести \(x - 1\) прямых. АВ и ВА - одна прямая.

Составим уравнение:

\(\frac{x(x-1)}{2}=45 \)  \(/\times 2\)

\(x(x-1)=90 \)

\(x^2-x-90=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c= -90\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=1+360=361\),    \(\sqrt D = 19\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{1+19}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\(x_2=\frac{1-19}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(10\) точек отмечено на плоскости.

Пояснения:

Использованное правило:

Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то каждая пара точек определяет ровно одну прямую. Число таких прямых равно числу пар точек: \[\frac{x(x-1)}{2}. \]

Приравниваем количество прямых к \(45\) и получаем уравнение \(\frac{x(x-1)}{2}=45\), откуда \(x^2-x-90=0\). Решив уравнение, получаем два корня:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -9\). Так как \(x\) — натуральное число, берём положительный корень, следовательно, на плоскости отмечено \(10\) точек.