Упражнение 993 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(-1 \le 15x+14 < 44 \)

\(\begin{cases} 15x+14 \ge -1,\\ 15x+14 < 44 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 15x \ge -1 - 14,\\ 15x < 44 - 14 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 15x \ge -15,   / : 15 \\ 15x < 30    / : 15 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge -1, \\ x < 2 \end{cases} \)

Ответ: \([-1,\,2)\).

б) \(-1 \le \dfrac{6-a}{3} \le 1 \)

\(\begin{cases} \dfrac{6-a}{3} \ge -1, /\times3 \\ \dfrac{6-a}{3} \le 1  /\times3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6 - a \ge -3, \\ 6-a \le 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -a \ge -3 - 6, \\ -a \le 3-6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -a \ge -9, /\times(-1) \\ -a \le -3   / \times (-1) \end{cases} \)

\(\begin{cases} a \le 9, \\ a \ge 3 \end{cases} \)

Ответ: \([3,\,9]\).

в) \(-1{,}2 < 1-2y < 2{,}4 \)

\(\begin{cases} 1-2y > -1,2,\\ 1-2y < 2{,}4 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -2y > -1,2 - 1,\\ -2y < 2{,}4 - 1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -2y > -2,2,    / : (-2) \\ -2y < 1{,}4     / : (-2) \end{cases} \)

\(\begin{cases} y < 1,1, \\ y > -0,7 \end{cases} \)

Ответ: \((-0{,}7,\,1{,}1)\).

г) \(-2 < \dfrac{4x-1}{3} \le 0 \)

\(\begin{cases} \dfrac{4x-1}{3} > -2,  /\times3 \\ \dfrac{4x-1}{3} \le 0   /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x-1 > -6, \\ 4x-1 \le 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x > -6+1, \\ 4x \le 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x > -5,  / : 4 \\ 4x \le 1  / : 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -1,25, \\ x \le 0,25 \end{cases}\)

Ответ: \(\left(-1,25,\,0,25\right]\).

Пояснения:

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

а) \(8^{-2} \cdot 4^{3} = (2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3 =\)

\(=2^{-6} \cdot 2^{6} = 2^{-6+6}= 2^{0} = 1.\)

б) \(9^{-6} \cdot 27^{5}= (3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5 =\)

\(=3^{-12} \cdot 3^{15} =3^{-12+15}= 3^{3} = 27.\)

в) \(10^{0} : 10^{-3} = 10^{0 - (-3)} = 10^{3} =\)

\(=1000.\)

г) \(125^{-4} : 25^{-5} =(5^3)^{-4} : (5^2)^{-5} =\)

\(=5^{-12} : 5^{-10} = 5^{-12 - (-10)} =\)

\(=5^{-12+10}=5^{-2}=\dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}.\)

д) \(\dfrac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}=\dfrac{2^{-21}}{(2^2)^{-5} \cdot (2^2)^{-6}}=\)

\(=\dfrac{2^{-21}}{2^{-10} \cdot 2^{-12} }=\dfrac{2^{-21}}{2^{-10+(-12)} }\)

\(=\dfrac{2^{-21}}{2^{-22}} = 2^{-21 - (-22)} = 2^{1} = 2.\)

е) \(\dfrac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}=\dfrac{(2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6}}{2^{-22}}=\)

\(=\dfrac{2^{-4} \cdot 2^{-18} }{2^{-22}}=\dfrac{2^{-4+(-18)} }{2^{-22}}=\)

\(=\dfrac{2^{-22}}{2^{-22}} = 2^{-22 - (-22)} = \)

\(=2^{-22+22} = 2^{0} = 1.\)

ж) \(\dfrac{3^{-10} \cdot 9^{8}}{(-3)^{2}}=\dfrac{3^{-10} \cdot (3^2)^{8}}{3^{2}}=\)

\(=\dfrac{3^{-10} \cdot 3^{16}}{3^{2}}=\dfrac{3^{-10+16}}{3^{2}}=\)

\(=\dfrac{3^{6}}{3^{2}}=3^{6-2} = 3^4 = 81.\)

з) \(\dfrac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^{3}}=\dfrac{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}}{(5^3)^{3}}=\)

\(=\dfrac{5^{-5} \cdot 5^{20}}{5^9}=\dfrac{5^{-5 + 20}}{5^9}=\)

\(=\dfrac{5^{15}}{5^9}=5^{15 - 9} = 5^{6} = 15625\)

Пояснения:

Основные свойства степеней:

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \)

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \)

\((a^m)^n = a^{m \cdot n}, \)

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \)

\(a^{0} = 1. \)