Упражнение 825 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{6}{x}\cdot100 - \frac{3,6}{60-x}\cdot100=15\)

\(\frac{600}{x} - \frac{360}{60-x}=15\)   \(/\times x(60-x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(60 - x\neq 0\)

                            \(x\neq60\)

\(600(60-x) - 360x=15x(60-x)\)

\(36000 - 600x - 360x= 900x - 15x^2\)

\(36000 - 600x - 360x- 900x + 15x^2=0\)

\(15x^2 -1860x + 36000=0\)   \( / :15\)

\(x^2 - 124x + 2400=0\)

\(a = 1\),  \(k = \frac b2 = -62\),  \(c =2400\)

\(D_1 = k^2 - ac =\)

\(=(-62)^2 - 1\cdot2400=\)

\(=3844 -2400=1444\),    \(\sqrt D = 38\).

\(x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt D}{a}\)

\(x_1 = \frac{-(-62) + 38}{1} = 100\) - не удовлетворяет условию.

\(x_1 = \frac{-(-62) - 38}{1} = 24\)

1) \(24\) (кг) - масса первого сплава.

2) \(60 - 24 = 36\) (кг) - масса второго сплава.

Ответ: масса первого сплава — 24 кг, масса второго — 36 кг.

Пояснения:

Массу первого сплава обозначили через \(x\) кг, тогда масса второго равна \(60 - x\) кг.

Составили дробное рациональное уравнение, учитывая то, что первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди, при этом содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором:

\(\frac{6}{x}\cdot100 - \frac{3,6}{60-x}\cdot100=15\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение с четным коэффициентом \(b\), у которого дискриминант \(D_1 = k^2 - 4ac>0\), где \(k = \frac b2\), поэтому уравнение имеет два корня: \(100\) и \(24\). Корень, равный \100\), не удовлетворяет условию задачи, так как масса одного сплава не может быть больше массы двух сплавов.

Значит, масса первого сплава равна 24 кг, а масса второго сплава:

\(60 - 24 = 36\) (кг).

а) \((1; 8)\) и \((5; 10)\)

\((1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8)\).

б) \([-4; 4]\) и \([-6; 6]\)

\([-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]\).

в) \((5; +\infty)\) и \((7; +\infty)\)

\((5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty)\).

г) \((-\infty; 10)\) и \((-\infty; 6)\)

\((-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6)\).

Пояснения:

Пересечение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку одновременно.