Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№757 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Фотографическая карточка размером \(12 \times 18\) см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь \(280 \text{ см}^2\).
№757 учебника 2013-2022 (стр. 169):
Известно, что \(3 < a < 4\). Оцените значение выражения:
а) \(5a\);
б) \(-a\);
в) \(a + 2\);
г) \(5 - a\);
д) \(0{,}2a + 3\).
№757 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Вспомните.
№757 учебника 2013-2022 (стр. 169):
Вспомните:
№757 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Пусть ширина рамки равна \(x\) см.
Тогда размеры фотокарточки с рамкой:
\((12 + 2x)\) см и \((18 + 2x)\) см.
Площадь всей фигуры равна \(280\) см2.
Составим уравнение:
\((12 + 2x)(18 + 2x) = 280\)
\(216 + 24x + 36x + 4x^2 - 280 = 0\)
\(4x^2 + 60x - 64 = 0\) \(/ : 4\)
\(x^2 + 15x - 16 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 15\), \(c = -16\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(=15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) =\)
\(=225 + 64 = 289\), \(\sqrt D = 17\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-15 + 17}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-15 - 17}{2\cdot1} = \frac{-32}{2} = -16\) - не удовлетворяет условию.
Ответ: ширина рамки равна \(1\) см.
Пояснения:
Для решения задачи мы использовали правило нахождения площади прямоугольника: \[S = a \cdot b,\] где \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника.
Так как рамка одинаковой ширины \(x\), то к каждой стороне карточки прибавляется по \(2x\) (слева и справа, сверху и снизу). Поэтому размеры всей фигуры будут: \[(12 + 2x) \times (18 + 2x).\]
Приравняли эту площадь к известной величине \(280\), получили квадратное уравнение.
Решив его через дискриминант, нашли два корня: \(1\) и \(-16\).
Так как ширина рамки не может быть отрицательной, то правильный ответ: \[x = 1 \text{ см}.\]
Значит, рамка имеет ширину \(1 \text{ см}\).
№757 учебника 2013-2022 (стр. 169):
а) \(3 < a < 4\)
\(5\cdot3 < 5a < 5 \cdot4\)
\(15 < 5a < 20\).
б) \(3 < a < 4\)
\(-4 < -a < -3\)
в) \(3 < a < 4\)
\(3 + 2 < a + 2 < 4 + 2\)
\(5 < a + 2 < 6\)
г) \(3 < a < 4\)
\(-4 < -a < -3\)
\(5 - 4 < 5 - a < 5 - 3 \)
\(1 < 5 - a < 2\).
д) \(3 < a < 4\)
\(0{,}2 \cdot 3 + 3 < 0{,}2a + 3 < 0{,}2 \cdot 4 + 3\)
\(3{,}6 < 0{,}2a + 3 < 3{,}8\).
Пояснения:
При оценке значений выражений используем свойства неравенств:
1. Если к частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.
2. Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.
3. Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
Вернуться к содержанию учебника