Упражнение 740 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \)

1 случай:

\(a-1\neq 0\)

\(a\neq 1\).

\(A=a-1\), \(B=2a\), \(C=a+1\).

\( D=B^2-4AC=\)

\(=(2a)^2-4(a-1)(a+1)=\)

\(=4a^2-4(a^2-1)=\)

\(=4a^2-4a^2+4=4 >0 \)

\(\sqrt{D}=2 \)

\( x_1=\frac{-2a + 2}{2(a-1)}=\frac{-2(a - 1)}{2(a-1)}=-1 \)

\( x_2=\frac{-2a - 2}{2(a-1)}=\frac{2(-a - 1)}{2(a-1)}=\frac{-a - 1}{a-1} \)

Случай 2.

\(a-1 = 0\), то \(a = 1\)

\( 0x^2+2\cdot 1 \cdot x+1+1=0 \)

\( 2x+2=0\)

\(2x = -2\)

\(x = \frac{-2}{2}\)

\(x=-1 \)

Ответ: если \(a\neq 1\), то \(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\); если \(a=1\), то \(x=-1\).

Пояснения:

При решении уравнения мы рассмотрели два случая:

1 случай:

Когда коэффициент перед \(x^2\) отличен от нуля, то есть \(a-1\neq 0\), откуда имеем \(a\neq 1\), и в таком случае квадратное уравнение 

\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) решаем через дискриминант

\( D=B^2-4AC\), где \(A=a-1\),

\(B=2a\), \(C=a+1\) - коэффициенты квадратного уравнения. Дискриминант получается положительным числом, поэтому уравнение имеет два корня:

\( x_{1,2}=\frac{-B + \sqrt D}{2A}\), то есть

\(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\)

2 случай:

Когда коэффициент перед \(x^2\) равен нулю, то есть \(a - 1 = 0\), тогда \(a = 1\), и в этом случае квадратное уравнение \( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) преобразуется в линейное:

\( 2x+2=0\), откуда \(x = -1\).

\(a > 0\),  \(b > 0\), \(a\neq b\).

\((a^3 + b^3)-ab(a+b)=\)

\(= a^3 + b^3 - a^2b-ab^2=\)

\(= (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3)=\)

\(=a^2(a-b) - b^2(a-b)=\)

\(=(a-b)(a^2 - b^2) =\)

\(=(a-b)(a-b)(a+b)=\)

\(=(a-b)^2(a+b)>0\), так как при \(a > 0\),  \(b > 0\) и \(a\neq b\):

\((a-b)^2 >0\),  \(a + b > 0\), значит,

\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).

Пояснения:

Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Чтобы определить, какое выражение больше, находим разность выражений и определяем знак этой разности разности.

Мы из выражения \(a^3 + b^3\) вычли выражение \(ab(a+b)\) и получили:

\((a-b)^2(a+b)\).

По условию \(a > 0\), \(b > 0\), \(a\neq b\), поэтому

\((a-b)^2 >0\), \(a + b > 0\).

Если оба множителя положительны, то произведение положительно. Значит:

\((a-b)^2(a+b)>0\), поэтому

\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).