Упражнение 735 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( ax-2x=a^3-2a^2-9a+18 \)

\( (a-2)x=a^3-2a^2-9a+18 \)

1 случай:

Если \(a - 2 \neq 0\), то есть \(a\neq 2\):

\( x=\frac{a^3-2a^2-9a+18}{a-2} \)

\( x=\frac{a^2(a-2)-9(a-2)}{a-2} \)

\( x=\frac{\cancel{(a-2)}(a^2-9)}{\cancel{a-2}} \)

\(x = a^2 - 9\)

2 случай:

Если \(a - 2 = 0\), то есть \(a=2\):

\(0x=2^3 - 2 \cdot2^2 - 9\cdot2 + 18\)

\(0x=8-8-18+18\)

\(0x=0 \) - верно при любом \(x\).

Ответ: если \(a\neq 2\), то \(x=a^2-9\); если \(a=2\), то \(x\) — любое число.

Пояснения:

В левой части уравнения

\( ax-2x=a^3-2a^2-9a+18 \)вынесли множитель \(x\) за скобки:

\( (a-2)x=a^3-2a^2-9a+18 \).

Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при \(x\) или равен нулю.

Если \(a - 2 \neq 0\), то есть \(a\neq 2\), то уравнение имеет единственный корень

\( x=\frac{a^3-2a^2-9a+18}{a-2} \).

Разложив числитель дроби на множители способом группировки, получим:

\( x=\frac{(a-2)(a^2-9)}{a-2} \),

откуда, выполнив сокращение на \(a-2\):

\(x = a^2 - 9\).

Если \(a - 2 = 0\), то есть \(a=2\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\). В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что при \(a\neq 2\) уравнение имеет единственный корень \(a^2-9\), а при \(a =2\) любое число является корнем уравнения.

а) \(\dfrac{c^2+1}{2} \geq c\)

\( \frac{c^2+1}{2} - c ^{\color{blue}{\backslash2}} = \frac{c^2+1-2c}{2} =\)

\( = \frac{c^2-2c+1}{2}=\frac{(c-1)^2}{2}\)

\((c-1)^2 \geq 0\) при любом \(c\), тогда

\( \frac{c^2+1}{2} - c \geq 0\)  и  \(\frac{c^2+1}{2} \geq c\).

б) \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{c}{c^2+1} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash c^2+1}}= \)

\(=\dfrac{2c-(c^2 + 1)}{2(c^2+1)}=\dfrac{2c-c^2 - 1}{2(c^2+1)}=\)

\(=\dfrac{-(c^2 - 2c + 1)}{2(c^2+1)}=-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\)

\((c-1)^2 \geq 0\)  и  \(2(c^2+1) > 0\) при любом \(c\), тогда

\(\dfrac{c}{c^2+1} - \dfrac{1}{2} \leq0\) и \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\)

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей рассматриваемых неравенств.

а) Разность равна \(\frac{(c-1)^2}{2}\).

\((c-1)^2 \geq 0\) при любом \(c\), тогда

\(\frac{(c-1)^2}{2}\geq 0\), то есть \( \frac{c^2+1}{2} - c \geq 0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то \(a \geq b\), тогда неравенство \(\frac{c^2+1}{2} \geq c\) верно для любого значения \(c\).

б) Разность равна \(-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\).

\((c-1)^2 \geq 0\)  и  \(2(c^2+1) > 0\) при любом \(c\), тогда \(-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\leq0\), то есть \(\dfrac{c}{c^2+1} - \dfrac{1}{2} \leq0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то \(a \geq b\), тогда неравенство \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\) верно для любого значения \(c\).