Упражнение 731 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(4x^2-12x+9=\)

\(=(2x)^2 -2\cdot2x\cdot3+3^2=\)

\(=(2x-3)^2 \).

б) \(1-14a+49a^2=\)

\(=1^2 - 2\cdot1\cdot7a + (7a)^2 =\)

\(=-(7a-1)^2 \)

в) \(25+4c^2+20c=\)

\(=4c^2 + 20c + 25 =\)

\(=(2c)^2 + 2\cdot2c \cdot 5 + 5^2=\)

\(=(2c+5)^2 \)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) \(a(a+b) \geq ab\)

\( a(a+b) - ab =\)

\(=a^2 + \cancel{ab} - \cancel{ab} = a^2 \geq 0 \) - верно при любом \(a\).

б) \(m^2 - mn + n^2 \geq mn\)

\( m^2 - mn + n^2 - mn =\)

\(=m^2 - 2mn + n^2 =\)

\(=(m-n)^2 \geq 0\) - верно при любых \(m\) и \(n\).

в) \(10a^2 - 5a + 1 \geq a^2 + a\)

\( (10a^2 - 5a + 1) - (a^2 + a) = \)

\(=9a^2 - 6a + 1 =\)

\(=(3a-1)^2 \geq 0\) - верно при любом \(a\).

г) \(2bc \leq b^2 + c^2\)

\(2bc - (b^2 + c^2)=\)

\(=2bc - b^2 - c^2=\)

\(=-(b^2 - 2bc +c^2\)=\)

\(=-(b-c)^2 \leq 0\) - верно при любых \(b\) и \(c\).

д) \(a(a-b) \geq b(a-b)\)

\( a(a-b) - b(a-b) =\)

\(=a^2 - ab - ab +b^2 =\)

\(=a^2 -2ab + b^2 = \)

\(=(a-b)^2 \geq 0\) - верно при любых \(a\) и \(b\).

е) \(a^2 - a \leq 50a^2 - 15a + 1\)

\((a^2 - a) - (50a^2 - 15a + 1)=\)

\(=a^2 - a - 50a^2 + 15a - 1=\)

\(=-49a^2 + 14a - 1 =\)

\(=-(49a^2 - 14a + 1) =\)

\(=-(7a-1)^2 \leq 0\) - верно при любом \(a\).

Пояснения:

1. Для каждого неравенства мы вычислили разность (левая часть – правая часть).

2. Во всех случаях эта разность свелась к квадрату выражения: \(a^2\), \((m-n)^2\), \((3a-1)^2\), \((a-b)^2\) или к выражению противоположному квадрату выражения \(-(b-c)^2\), \(-(7a-1)^2\)

3. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому каждое неравенство выполняется при любых значениях переменных.

\(a^2 \geq 0\), при этом \(-a^2 \leq 0\).