Упражнение 622 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(ax^2 + bx+c=0\)

\(a = b = c =k \neq0\)

\(kx^2 + kx+k=0\)   \(/ : k\)

\(x^{2}+x+1= 0\)

\( D=b^2-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot1=\)

\(=1-4=-3<0\) - корней нет.

Ответ: квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители.

Пояснения:

Правило:

квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\) представим в виде произведения двух многочленов первой степени тогда и только тогда, когда его дискриминант \(D=b^{2}-4ac\ge0\). При \(D>0\) имеем два различных линейных множителя, при \(D=0\) — квадрат одного линейного множителя, при \(D<0\) разложения на линейные множители нет.

Обоснование шагов:

1) Равенство коэффициентов квадратного трехчлена

\(a = b = c =k \neq0\) позволяет обе части уравнения \(kx^2 + kx+k=0\) разделить на \(k\), корни от этого не изменятся.

2) Дискриминант полученного квадратного трехчлена \(x^{2}+x+1\) отрицателен (\(D=-3\)), значит, квадратный трехчлен не имеет корней, значит, разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа, нельзя.

Составим уравнение:

\(\frac{192}{x}-\frac{192}{x+2}=0{,}4\)  \(/\times x(x+2)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 2 \neq0\)

                          \(x \neq -2\)

\(192(x+2) -192x = 0,4x(x+2)\)

\(\cancel{192x}+384 -\cancel{192x} = 0,4x^2 +0,8x\)

\(0,4x^2 +0,8x -384 = 0\)    \(/ : 0,4\)

\(x^2+2x-960=0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -960\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2-4\cdot1\cdot(-960)=\)

\(=4 + 3840=3844\),    \(\sqrt D = 62\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-2+62}{2\cdot1}=\frac{60}{2}=30\).

\( x_2 = \frac{-2-62}{2\cdot1}=\frac{-64}{2}=-32\) - удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: урожайность пшеницы в прошлом году 30 ц/га.

Пояснения:

1) Урожай \(=\) урожайность \(\times\) площадь. Поэтому площади выражены как \(\frac{\text{урожай}}{\text{урожайность}}\).

2) Условие «площадь стала меньше на \(0{,}4\) га» дает дробное рациональное уравнение:

\([ \frac{192}{x}-\frac{192}{x+2}=0{,}4. \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2+2x-960=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 30\) и \(x_2 = -32\).

Отрицательный корень не подходит, так как урожайность не может быть отрицательным числом.

Значит, урожайность пшеницы в прошлом году 30 ц/га.