Упражнение 563 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см, тогда ширина доски также \(x\) см, а дина доски \(x + 20\) см. Площадь доски равна 4500 см².

Составим уравнение:

\(x(x + 120) = 4500\)

\(x^2 + 120x - 4500 = 0\)

\(a=1\), \(b=120\), \(c=-4500\).

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=120^2 - 4\cdot1\cdot(-4500)=\)

\(=14400 + 18000 = 32 400\);

\(\sqrt{D} = 180\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-120 + 180}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{60}{2} = 30\).

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-120 - 180}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{300}{2} = -150\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: сторона квадрата равна 30 см.

Пояснения:

Согласно условию ввели обозначения для длин сторон доски и, учитывая то, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, составили уравнение:

\(x(x + 120) = 4500\).

Раскрыли скобки и перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2 + 120x - 4500 = 0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательным числом. Положительный корень и есть искомая длина стороны квадрата.

Пусть первый катет треугольника равен \(x\) см, тогда второй катет равен \(23 - x\) см. Площадь прямоугольника \(60\) см².

Составим уравнение:

\( \frac12x(23-x)=60\)    \(/\times2\)

\( x(23-x)=120\) 

\(23x -x^2 - 120 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2-23x+120=0\)

\(a=1\), \(b=-23\), \(c=120\).

\(D = b^2 - 4ac = 23^2-4\cdot1\cdot120=\)

\(=529-480=49\);    \(\sqrt49 = 7\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{23+7}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{30}{2}=15\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{23-7}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{16}{2} = 8\).

1) \(15\) см - первый катет треугольника.

\(23 - 15 = 8\) (см) - второй катете треугольника.

2) \(8\) см - первый катет треугольника.

\(23 - 8 = 15\) (см) - второй катет треугольника.

Ответ: \(8\) и \(15\) см.

Пояснения:

Использованные формулы:

Площадь прямоугольного треугольника:

\(S = \frac12ab\), где

\(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\( \frac12x(23-x)=60\) 

Домножив обе части уравнения на 2 и раскрыв скобки, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-23x+120=0\)

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант, которые соответствуют первой стороне треугольника.

Нашли вторую сторону треугольника.