Упражнение 445 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b}}\;-\;\sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}},\quad b\ge1\)

\(\sqrt{\frac{b+1}{2} - \sqrt{b} ^{\color{blue}{\backslash2}} }-\sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b} ^{\color{blue}{\backslash2}} }=\)

\(=\sqrt{\frac{b+1-2\sqrt{b}}{2}}-\sqrt{\frac{b+1 + 2\sqrt{b}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{(\sqrt{b})^2-2\sqrt{b} + 1^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{b}+1^2}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{(\sqrt{b} - 1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{b}+1)^2}{2}}=\)

\(=\frac{|\sqrt b-1|}{\sqrt2} - \frac{|\sqrt b+1|}{\sqrt2}=\)

\(=\frac{\sqrt b-1}{\sqrt2} - \frac{\sqrt b+1}{\sqrt2}=\)

\(=\frac{(\sqrt b-1)-(\sqrt b+1)}{\sqrt2}=\)

\(=\frac{\cancel{\sqrt b} -1- \cancel{\sqrt b}-1}{\sqrt2}=\)

\(=\frac{-2}{\sqrt2} =-\frac{2\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2} =\)

\(=-\frac{\cancel{2}\sqrt2}{\cancel{2}}=-\sqrt2\).

б) \(\displaystyle \sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}}\;-\;\sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c}},\quad c\ge4.\)

\( \sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c} ^{\color{blue}{\backslash4}}}-\sqrt{\frac{c+4}{4} - \sqrt{c} ^{\color{blue}{\backslash4}}}=\)

\( =\sqrt{\frac{c+4+4\sqrt{c}}{4}} -\sqrt{\frac{c+4-4\sqrt{c}}{4} }=\)

\( =\sqrt{\frac{(\sqrt{c})^2+2\sqrt{c}\cdot2+2^2}{4}} -\sqrt{\frac{(\sqrt{c})^2-2\sqrt{c}\cdot2+2^2}{4} }=\)

\( =\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+2)^2}{4}} -\sqrt{\frac{(\sqrt{c}-2)^2}{4} }=\)

\( =\frac{|\sqrt{c}+2|}{\sqrt4} -\frac{|\sqrt{c}-2|}{\sqrt4} =\)

\( =\frac{\sqrt{c}+2}{2} -\frac{\sqrt{c}-2}{2} =\)

\( =\frac{(\sqrt{c}+2)-(\sqrt{c}-2)}{2}=\)

\( =\frac{\cancel{\sqrt{c}}+2-\cancel{\sqrt{c}}+2}{2}=\frac42=2\).

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\).

\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

а) \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} =\)

\( =\sqrt{9 + 6\sqrt{2} + 2} - \sqrt{2} =\)

\( =\sqrt{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt{2} + (\sqrt2)^2} - \sqrt{2} =\)

\(=\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} -\sqrt{2} =\)

\(=|3 + \sqrt{2}| - \sqrt{2} = \)

\(=3 + \cancel{\sqrt{2}} - \cancel{\sqrt{2}}  = 3\).

б) \( \sqrt{27-5\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{27-5\sqrt{4\cdot2}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{27 -5\cdot2\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{25 -2\cdot5\cdot\sqrt{2} + 2}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{5^2 -2\cdot5\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2}+\sqrt{2}=\)

\(= |5 - \sqrt{2}|+\sqrt{2}=\)

\(= 5 - \cancel{\sqrt{2}}+\cancel{\sqrt{2}}=5\)

Пояснения:

Использованные формулы:

– Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

– Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

– Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).