Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№239 учебника 2023-2025 (стр. 59):
При каком значении \(a\) тождественно равны выражения:
а) \(\displaystyle\frac{2x}{x+3}\) и \(\displaystyle2+\frac{a}{x+3}\);
б) \(\displaystyle\frac{x}{x-5}\) и \(\displaystyle1+\frac{a}{x-5}\);
в) \(\displaystyle\frac{2x}{3-x}\) и \(\displaystyle\frac{a}{3-x}-2\);
г) \(\displaystyle\frac{x+2}{5-x}\) и \(\displaystyle\frac{a}{5-x}-1\)?
№239 учебника 2013-2022 (стр. 57):
Упростите выражение:
а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+ab+bx}{a^2-ax-ab+bx}\;\cdot\;\frac{a^2-ax-bx+ab}{a^2+ax-bx-ab}\);
б) \(\displaystyle \frac{x^2-bx+ax-ab}{x^2+bx-ax-ab} : \frac{x^2+bx+ax+ab}{x^2-bx-ax+ab}\).
№239 учебника 2023-2025 (стр. 59):
№239 учебника 2013-2022 (стр. 57):
Вспомните:
№239 учебника 2023-2025 (стр. 59):
а) \(\displaystyle2+\frac{a}{x+3}=\frac{2(x+3)+a}{x+3}=\)
\(=\frac{2x+6+a}{x+3}.\)
\(\frac{2x+6+a}{x+3}\equiv\frac{2x}{x+3};\)
\(2x+6+a=2x;\)
\(a=2x-2x-6\)
\(a=-6.\)
Ответ: \(a=-6.\)
б) \(\displaystyle1+\frac{a}{x-5}=\frac{x-5+a}{x-5}.\)
\(\frac{x-5+a}{x-5}=\frac{x}{x-5};\)
\(x-5+a = x;\)
\(a=x-x+5;\)
\(a=5.\)
Ответ: \(a=5.\)
в) \(\displaystyle\frac{a}{3-x}-2=\frac{a-2(3-x)}{3-x}=\)
\(=\frac{a-6+2x}{3-x}.\)
\(\frac{a-6+2x}{3-x}=\frac{2x}{3-x};\)
\(a-6+2x = 2x;\)
\(a= 2x-2x+6;\)
\(a=6.\)
Ответ: \(a=6.\)
г) \(\displaystyle\frac{a}{5-x}-1=\frac{a-(5-x)}{5-x}=\)
\(=\frac{a-5+x}{5-x}.\)
\(\frac{a-5+x}{5-x}=\frac{x+2}{5-x};\)
\(a-5+x = x+2;\)
\(a-5+x = x+2-x+5;\)
\(a=7.\)
Ответ: \(a=7.\)
Пояснения:
При решении второе выражение записываем в виде дроби (выполняем сложение или вычитание), затем приравниваем числитель первой дроби и полученной. Решаем полученное уравнение относительно \(a|).
Приемы использованные при доказательстве:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующее правило:
\(a-b = -(b-a)\).
№239 учебника 2013-2022 (стр. 57):
а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+ab+bx}{a^2-ax-ab+bx}\;\cdot\;\frac{a^2-ax-bx+ab}{a^2+ax-bx-ab}=\)
\(=\displaystyle \frac{a(a+x)+b(a+x)}{a(a-x)-b(a-x)}\;\cdot\;\frac{a(a-x)+b(a-x)}{a(a+x)-b(a+x)}=\)
\(=\displaystyle \frac{(a+b)(a+x)}{(a-x)(a-b)}\;\cdot\;\frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a-b)}=\)
\(\displaystyle \frac{(a+b)\cancel{(a+x)}(a+b)\cancel{(a-x)}}{(a-b)\cancel{(a-x)}(a-b)\cancel{(a+x)}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}.\)
б) \(\displaystyle \frac{x^2-bx+ax-ab}{x^2+bx-ax-ab} : \frac{x^2+bx+ax+ab}{x^2-bx-ax+ab}=\)
\(=\displaystyle \frac{x(x-b)+a(x-b)}{x(x+b)-a(x+b)} : \frac{x(x+b)+a(x+b)}{x(x-b)-a(x-b)}=\)
\(=\displaystyle \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} : \frac{(x+a)(x+b)}{(x-a)(x-b)}=\)
\(=\displaystyle \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} \cdot \frac{(x-a)(x-b)}{(x+a)(x+b)}=\)
\(=\displaystyle \frac{\cancel{(x+a)}(x-b)\cancel{(x-a)}(x-b)}{\cancel{(x-a)}(x+b)\cancel{(x+a)}(x+b)}=\)
\( = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2}.\)
Пояснения:
Правила и приёмы, использованные при решении:
1. Вынесение общего множителя из суммы:
\(\displaystyle ac + bc = c(a + b)\).
2. Сокращение дробей:
\(\displaystyle \frac{A\cdot C}{B\cdot C} = \frac{A}{B}\), если \(C\neq 0\).
3. Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
Пояснения к пункту а):
Сгруппировали в числителе и в знаменателе по двум слагаемым, вынесли общий множитель \(a+b\) или \(a-b\). После этого в произведении дробей сократили множители \((a+x)\) и \((a-x)\).
В пояснениях к пункту б):
Аналогичным образом сгруппировали по парам \(x^2 \pm bx\) и \(ax \pm ab\), вынесли множители \((x\pm a)\) и \((x\pm b)\), затем при умножении (вместо деления — через обратную дробь) сократили общие множители \((x+a)\) и \((x-a)\).
Вернуться к содержанию учебника