Упражнение 237 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{1}{a(a - b)(a - c)} \;+\; \frac{1}{b(b - c)(b - a)} +\)

\(+\frac{1}{c(c - a)(c - b)}=\)

\(=\frac{1}{a(a - b)(a - c)} ^{\color{red}{\backslash{bc(b-c)}}} -\)

\(-\frac{1}{b(b - c)(a-b)} ^{\color{red}{\backslash{ac(a-c)}}} +\)

\(+\frac{1}{c(a-c)(b-c)} ^{\color{red}{\backslash{ab(a-b)}}} =\)

\(=\frac{bc(b-c)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} -\)

\(-\frac{ac(a-c)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} +\)

\(+\frac{ab(a-b)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)}  =\)

\(=\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2c-ab^2-bc^2+a^2b+ac^2-a^2c}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2(c-a)-b(c^2-a^2)+ac(с-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2(c-a)-b(c-a)(c+a)+ac(с-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b^2-b(c+a)+ac)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b^2-bc-ba+ac)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b(b-c)-a(b-c))}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b-c)(b-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(b-c)}\cancel{(a-b)}}{abc\cancel{(a - b)}\cancel{(b-c)}\cancel{(a - c)}} =\frac{1}{abc}\)

Ответ: \(\frac{1}{abc}.\)

б) \(\frac{x^2}{(x - y)(x - z)} \;+\; \frac{y^2}{(y - x)(y - z)} +\)

\(+\; \frac{z^2}{(z - x)(z - y)}=\)

\(=\frac{x^2}{(x - y)(x - z)}^{\color{red}{\backslash{(y-z)}}} -\)

\(- \frac{y^2}{(x-y)(y - z)}^{\color{red}{\backslash{(x-z)}}}+\)

\(+\frac{z^2}{(x-z)(y-z)}^{\color{red}{\backslash{(x-y)}}}=\)

\(=\frac{x^2(y-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} -\)

\(- \frac{y^2(x-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)}+\)

\(+\frac{z^2(x-y)}{(x - y)(x - z)(y-z)}=\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)+z^2(x-y)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2x+y^2z+z^2x-z^2y}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2x+z^2x+y^2z-z^2y}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-x(y^2-z^2)+yz(y-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x^2-x(y+z)+yz)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x^2-xy-xz+yz)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x(x-y)-z(x-y))}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x-y)(x-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =1.\)

Ответ: \(1\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки, а затем раскладываем многочлен в числители на множители методом группировки.

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( \frac{5n^2 + 2n + 3}{n} =\)

\(=\frac{5n^2}{n}+ \frac{2n}{n}+ \frac{3}{n} =\)

\(=5n + 2 + \frac{3}{n}. \)

\(n\) - целый делитель 3:

\(n=\pm1,\pm3\).

Ответ: \(n=\pm1,\pm3\).

б) \( \frac{(n-3)^2}{n} =\frac{n^2-6n+9}{n} =\)

\(=\frac{n^2}{n}-\frac{6n}{n}+\frac{9}{n} =\)

\(=n - 6 + \frac{9}{n}. \)

\(n\) — целый делитель 9:

\(n=\pm1,\pm3,\pm9\).

Ответ: \(n=\pm1,\pm3,\pm9\).

в) \( \frac{3n}{n+2} =\frac{3n+6-6}{n+2} =\)

\(=\frac{3(n+2)-6}{n+2}=\)

\(=\frac{3(n+2)}{n+2}-\frac{6}{n+2}=\)

\(=3 - \frac{6}{n+2}. \)

\(n+2\) —целый делитель 6:

\(n+2=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\)

\(n+2=1\): \(n=1-2=-1\);

\(n+2=-1\): \(n=-1-2=-3\);

\(n+2=2\): \(n=2-2=0\);

\(n+2=-2\): \(n=-2-2=-4\);

\(n+2=3\): \(n=3-2=1\);

\(n+2=-3\): \(n=-3-2=-5\);

\(n+2=6\): \(n=6-2=4\);

\(n+2=-6\): \(n=-6-2=-8\).

\(n=-1; -3; 0; -4; 1; -5; 4; -8. \)

Ответ: \(n=-1; -3; 0; -4; 1; -5; 4; -8. \)

г) \( \frac{7n}{n-4} =\frac{7n-28+28}{n-4} =\)

\(=\frac{7(n-4)+28}{n-4}=\)

\(=\frac{7(n-4)}{n-4}+\frac{28}{n-4}=\)

\(=7 + \frac{28}{n-4}. \)

\(n-4\) —целый делитель 28.

\(n-4=\pm1,\,\pm2,\,\pm4,\,\pm7,\,\pm14,\,\pm28\)

\(n-4=1\): \(n=1+4=5\)

\(n-4=-1\): \(n=-1+4=3\)

\(n-4=2\): \(n=2+4=6\)

\(n-4=-2\): \(n=-2+4=2\)

\(n-4=4\): \(n=4+4=8\)

\(n-4=-4\): \(n=-4+4=0\)

\(n-4=7\): \(n=7+4=11\)

\(n-4=-7\): \(n=-7+4=-3\)

\(n-4=14\): \(n=14+4=18\)

\(n-4=-14\): \(n=-14+4=-10\)

\(n-4=28\): \(n=28+4=32\)

\(n-4=-28\): \(n=-28+4=-24\)

 \( n=5; 3; 6; 2; 8; 0; 11; -3; 18; -10; 32; -24.\)

Ответ:  \( n=5; 3; 6; 2; 8; 0; 11; -3; 18; -10; 32; -24.\)

Пояснения:

Основная идея: каждую дробь представляем как сумму или разность целого и дробного выражения. Чтобы результат являлся целым надо, чтобы  дробная часть была целой, то есть знаменатель являлся делителем числителя.