Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№238 учебника 2023-2025 (стр. 59):
Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
а) \(\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3};\)
б) \(\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5};\)
в) \(\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6};\)
г) \(\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}.\)
№238 учебника 2013-2022 (стр. 56):
Найдите такие значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется тождество:
а) \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3};\)
б) \(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2}.\)
№238 учебника 2023-2025 (стр. 59):
№238 учебника 2013-2022 (стр. 56):
№238 учебника 2023-2025 (стр. 59):
а) \(\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}=\frac{ (x-3)x + 6}{x - 3}=\)
\(=x+\frac{6}{x - 3};\)
б) \(\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}=\frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}=\)
\(=y-\frac{8}{y + 5}\)
в) \(\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}=\frac{a^2 + 6a+a + 2}{a + 6}=\)
\(=\frac{a(a + 6)+a + 2}{a + 6}=a+\frac{a + 2}{a + 6}.\)
г) \(\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}=\)
\(=\frac{3b^2 - 9b-b - 1}{b - 3}=\)
\(=\frac{3b(b - 3)-b - 1}{b - 3}=3b-\frac{b+1}{b - 3}.\)
Пояснения:
– Метод разложения на множители: представляем числитель как произведение делителя на частное плюс остаток.
– Остаток находится как разность исходного многочлена и полученного произведения.
– Итог: дробь равна сумме найденного целого выражения (частного) и дроби с остатком в числителе.
№238 учебника 2013-2022 (стр. 56):
а) \(\frac{a}{x-2} ^{\color{red}{\backslash{x+3}}} +\frac{b}{x+3} ^{\color{red}{\backslash{x-2}}} = \)
\(=\frac{a(x+3)}{(x-2)(x+3)}+\frac{b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\)
\(=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.\)
\(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} =\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}\)
\(a(x+3)+b(x-2)=5x\)
\(ax+3a+bx-2b=5x\)
\((a+b)x + (3a-2b) = 5x + 0\)
Составляем систему:
\(\begin{cases} a+b=5,\color{red}|\times2\\ 3a-2b=0; \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2a+2b=10,\\ 3a-2b=0; \end{cases}\)\(\color{red}+\)
\(5a=10\)
\(a=10:5\)
\(a=2\)
\(2+b=5⇒b=5-2=3\)
Ответ: \(a=2,\;b=3\).
б) \(\frac{a}{x-5}^{\color{red}{\backslash{x+2}}}-\frac{b}{x+2}^{\color{red}{\backslash{x-5}}} =\)
\(=\frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)}-\frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)
\(=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.\)
\(a(x+2)-b(x-5)=5x+31\)
\(ax+2a-bx+5b=5x+31\)
\((a-b)x + (2a+5b) = 5x + 31.\)
Составляем систему:
\(\begin{cases} a-b=5, \color{red}|\times5\\ 2a+5b=31. \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5a-5b=25,\\ 2a+5b=31. \end{cases}\)\(\color{red}+\)
\(7a=56\)
\(a=56:7\)
\(a=8\)
\(8-b=5⇒b=8-5=3.\)
Ответ: \(a=8,\;b=3\).
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем складываем (вычитаем) числители.
2) Приравниваем числители дробей раскрываем скобки. Группируем слагаемые, содержащие переменную, и свободные члены.
3) Составляем систему, приравняв коэффициенты при переменной \(x\) и свободные члены.
4) Решаем полученную систему методом сложения.
Вернуться к содержанию учебника