Упражнение 241 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{5n^2 + 2n + 3}{n} =\)

\(=\frac{5n^2}{n}+ \frac{2n}{n}+ \frac{3}{n} =\)

\(=5n + 2 + \frac{3}{n}. \)

\(n\) - целый делитель 3:

\(n=\pm1,\pm3\).

Ответ: \(n=\pm1,\pm3\).

б) \( \frac{(n-3)^2}{n} =\frac{n^2-6n+9}{n} =\)

\(=\frac{n^2}{n}-\frac{6n}{n}+\frac{9}{n} =\)

\(=n - 6 + \frac{9}{n}. \)

\(n\) — целый делитель 9:

\(n=\pm1,\pm3,\pm9\).

Ответ: \(n=\pm1,\pm3,\pm9\).

в) \( \frac{3n}{n+2} =\frac{3n+6-6}{n+2} =\)

\(=\frac{3(n+2)-6}{n+2}=\)

\(=\frac{3(n+2)}{n+2}-\frac{6}{n+2}=\)

\(=3 - \frac{6}{n+2}. \)

\(n+2\) —целый делитель 6:

\(n+2=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\)

\(n+2=1\): \(n=1-2=-1\);

\(n+2=-1\): \(n=-1-2=-3\);

\(n+2=2\): \(n=2-2=0\);

\(n+2=-2\): \(n=-2-2=-4\);

\(n+2=3\): \(n=3-2=1\);

\(n+2=-3\): \(n=-3-2=-5\);

\(n+2=6\): \(n=6-2=4\);

\(n+2=-6\): \(n=-6-2=-8\).

\(n=-1; -3; 0; -4; 1; -5; 4; -8. \)

Ответ: \(n=-1; -3; 0; -4; 1; -5; 4; -8. \)

г) \( \frac{7n}{n-4} =\frac{7n-28+28}{n-4} =\)

\(=\frac{7(n-4)+28}{n-4}=\)

\(=\frac{7(n-4)}{n-4}+\frac{28}{n-4}=\)

\(=7 + \frac{28}{n-4}. \)

\(n-4\) —целый делитель 28.

\(n-4=\pm1,\,\pm2,\,\pm4,\,\pm7,\,\pm14,\,\pm28\)

\(n-4=1\): \(n=1+4=5\)

\(n-4=-1\): \(n=-1+4=3\)

\(n-4=2\): \(n=2+4=6\)

\(n-4=-2\): \(n=-2+4=2\)

\(n-4=4\): \(n=4+4=8\)

\(n-4=-4\): \(n=-4+4=0\)

\(n-4=7\): \(n=7+4=11\)

\(n-4=-7\): \(n=-7+4=-3\)

\(n-4=14\): \(n=14+4=18\)

\(n-4=-14\): \(n=-14+4=-10\)

\(n-4=28\): \(n=28+4=32\)

\(n-4=-28\): \(n=-28+4=-24\)

 \( n=5; 3; 6; 2; 8; 0; 11; -3; 18; -10; 32; -24.\)

Ответ:  \( n=5; 3; 6; 2; 8; 0; 11; -3; 18; -10; 32; -24.\)

Пояснения:

Основная идея: каждую дробь представляем как сумму или разность целого и дробного выражения. Чтобы результат являлся целым надо, чтобы  дробная часть была целой, то есть знаменатель являлся делителем числителя.

\( \biggl(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\biggr)= \)

\(= \biggl(\frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} \biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a(a - x) + 4a x}{x(a - x)} \biggr)= \)

\(= \biggl(\frac{\cancel{a^2} + ax - \cancel{a^2} - x^2}{a + x} \biggr)\;\cdot\;\biggl(\frac{2a^2{\color{red}-2ax} + {\color{red}4a x}}{x(a - x)} \biggr)= \)

\(=\frac{ax - x^2}{a + x}\cdot\frac{2a^2+ 2a x}{x(a - x)}= \)

\(= \frac{x(a - x)}{a + x}\cdot\frac{2a(a+ x)}{x(a - x)}= \)

\(= \frac{\cancel{x(a - x)}\cdot2a\cancel{(a+ x)}}{\cancel{(a + x)}\cdot \cancel{x(a - x)}}=2a \) -  является чётным числом при любом целом \(a\).

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

— Приведение к общему знаменателю и вычитание дробей.

— Вынесение общего множителя: \(x(a - x)\) и \(2a(a + x)\).

— Сокращение одинаковых множителей в произведении дробей.

— Свойство чётности: любое число вида \(2a\), где \(a\) целое, является чётным.

В результате всех преобразований исходное выражение обращается в постоянное значение \(2a\), не зависящее от \(x\), и при любом целом \(a\) оно чётно.

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).