Упражнение 233 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{2y^2 - y}{\,y^2 - y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{2y^2 + y}{\,y^2 + y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{1}{\,y^2 - \tfrac14\,}=\)

\(=\frac{2y\cancel{(y - \frac12)}}{(y- \tfrac12)\cancel{^2}}\;-\;\frac{2y\cancel{(y + \frac12)}}{(y+ \tfrac12)\cancel{^2}}\;-\;\frac{1}{(y - \tfrac12)(y + \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2y}{(y- \tfrac12)} ^{\color{red}{\backslash{y+ \tfrac12}}} -\frac{2y}{(y+ \tfrac12)}^{\color{red}{\backslash{y- \tfrac12}}}-\frac{1}{(y - \tfrac12)(y + \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2y(y + \frac12)}{(y^2- \tfrac14)}-\frac{2y(y - \frac12)}{(y^2- \tfrac14)}-\frac{1}{(y^2 - \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y(y + \frac12)-2y(y - \frac12)-1}{(y^2- \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y^2+y-1-2y^2+y}{(y^2- \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y-1}{(y^2- \tfrac14)}=\frac{2\cancel{(y-\frac12)}}{\cancel{(y- \tfrac12)}(y+ \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2}{y+\frac{1}{2}}=\frac{2\cdot2}{2(y+\frac{1}{2})}=\frac{4}{2y+1}\)

б) \(\frac{6a}{2{,}5a^2 - 0{,}64}^{\color{red}{\backslash{50}}}-\frac{8}{6a - 3{,}2}^{\color{red}{\backslash{2,5}}}=\)

\(=\frac{300a}{125a^2 - 32}^{\color{red}{\backslash{15a-8}}}-\frac{20}{15a - 8}^{\color{red}{\backslash{125a^2-32}}}=\)

 \(=\frac{300a(15a - 8) - 20(125a^2 - 32)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{300a\cdot15a - 300a\cdot8 - 20\cdot125a^2 + 20\cdot32}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{4500a^2 - 2400a - 2500a^2 + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{2000a^2 - 2400a + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}\)

Пояснения:

Вероятнее всего во втором пункте допущена опечатка и выражение должно выглядеть следующим образом:

\(=\frac{6a}{2{,}25a^2 - 0{,}64}-\frac{8}{6a - 3{,}2}=\)

\(=\frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}^{\color{red}{\backslash{4}}}-\)

\(-\frac{8}{4(1,5a - 0,8)}^{\color{red}{\backslash{1,5a+0,8}}}=\)

\(=\frac{24a}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}-\)

\(-\frac{8(1,5a+0,8)}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{24a-8(1,5a+0,8)}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{24a-12a-6,4}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{12a-6,4}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{8\cancel{(1,5a-0,8)}}{4\cancel{(1,5a - 0,8)}(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{2}{1,5a+0,8}^{\color{red}{\backslash{10}}}=\frac{20}{15a+8}\)

Использованные правила и приёмы:

— Приведение дробей к общему знаменателю.

— Замена десятичных дробей на обыкновенные для удобства вычислений.

— Раскрытие скобок и сложение/вычитание одноимённых членов в числителе.

В пункте а) мы заметили, что знаменатели являются полными квадратами \((y\pm\tfrac12)^2\), а в числителях можно вынести общий множитель, после чего первые две дроби сокращаются, затем приводим к общему знаменателю и \(\tfrac{4}{2y+1}\).

В пункте б) сначала перевели десятичные коэффициенты в дробные, затем привели дроби к общему знаменателю, раскрыли скобки в числителе и привели подобные слагаемые.

а) \(\frac{1}{a(a - b)(a - c)} \;+\; \frac{1}{b(b - c)(b - a)} +\)

\(+\frac{1}{c(c - a)(c - b)}=\)

\(=\frac{1}{a(a - b)(a - c)} ^{\color{red}{\backslash{bc(b-c)}}} -\)

\(-\frac{1}{b(b - c)(a-b)} ^{\color{red}{\backslash{ac(a-c)}}} +\)

\(+\frac{1}{c(a-c)(b-c)} ^{\color{red}{\backslash{ab(a-b)}}} =\)

\(=\frac{bc(b-c)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} -\)

\(-\frac{ac(a-c)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} +\)

\(+\frac{ab(a-b)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)}  =\)

\(=\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2c-ab^2-bc^2+a^2b+ac^2-a^2c}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2(c-a)-b(c^2-a^2)+ac(с-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{b^2(c-a)-b(c-a)(c+a)+ac(с-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b^2-b(c+a)+ac)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b^2-bc-ba+ac)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b(b-c)-a(b-c))}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{(c-a)(b-c)(b-a)}{abc(a - b)(b-c)(a - c)} =\)

\(=\frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(b-c)}\cancel{(a-b)}}{abc\cancel{(a - b)}\cancel{(b-c)}\cancel{(a - c)}} =\frac{1}{abc}\)

Ответ: \(\frac{1}{abc}.\)

б) \(\frac{x^2}{(x - y)(x - z)} \;+\; \frac{y^2}{(y - x)(y - z)} +\)

\(+\; \frac{z^2}{(z - x)(z - y)}=\)

\(=\frac{x^2}{(x - y)(x - z)}^{\color{red}{\backslash{(y-z)}}} -\)

\(- \frac{y^2}{(x-y)(y - z)}^{\color{red}{\backslash{(x-z)}}}+\)

\(+\frac{z^2}{(x-z)(y-z)}^{\color{red}{\backslash{(x-y)}}}=\)

\(=\frac{x^2(y-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} -\)

\(- \frac{y^2(x-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)}+\)

\(+\frac{z^2(x-y)}{(x - y)(x - z)(y-z)}=\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)+z^2(x-y)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2x+y^2z+z^2x-z^2y}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-y^2x+z^2x+y^2z-z^2y}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{x^2(y-z)-x(y^2-z^2)+yz(y-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x^2-x(y+z)+yz)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x^2-xy-xz+yz)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x(x-y)-z(x-y))}{(x - y)(x - z)(y-z)} =\)

\(=\frac{(y-z)(x-y)(x-z)}{(x - y)(x - z)(y-z)} =1.\)

Ответ: \(1\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки, а затем раскладываем многочлен в числители на множители методом группировки.

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.