Упражнение 229 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{x+y}{y}=3\;\Longrightarrow\;\frac{x}{y}+1=3\;\Longrightarrow\;\frac{x}{y}=2.\)

б) \(\displaystyle \frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}.\)

в) \(\displaystyle \frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2 - 1 = 1.\)

г) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}.\)

Пояснения:

1) Из равенства \(\frac{x+y}{y}=3\) выразили \(\frac{x}{y}\), вычитая 1:

\[\frac{x}{y} = 3 - 1 = 2.\]

2) Дробь \(\frac{y}{x+y}\)  является обратной к \(\frac{x+y}{y}\):

\[\frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}.\]

3) Разность \(\frac{x-y}{y}\) разложили на две дроби с общим знаменателем \(y\):

\[\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2 - 1 = 1.\]

4) Доля \(\frac{y}{x}\) является обратной к \(\frac{x}{y}\):

\[\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}.\]

а) \(\frac{2y^2 - y}{\,y^2 - y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{2y^2 + y}{\,y^2 + y + \tfrac14\,}\;-\;\frac{1}{\,y^2 - \tfrac14\,}=\)

\(=\frac{2y\cancel{(y - \frac12)}}{(y- \tfrac12)\cancel{^2}}\;-\;\frac{2y\cancel{(y + \frac12)}}{(y+ \tfrac12)\cancel{^2}}\;-\;\frac{1}{(y - \tfrac12)(y + \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2y}{(y- \tfrac12)} ^{\color{red}{\backslash{y+ \tfrac12}}} -\frac{2y}{(y+ \tfrac12)}^{\color{red}{\backslash{y- \tfrac12}}}-\frac{1}{(y - \tfrac12)(y + \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2y(y + \frac12)}{(y^2- \tfrac14)}-\frac{2y(y - \frac12)}{(y^2- \tfrac14)}-\frac{1}{(y^2 - \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y(y + \frac12)-2y(y - \frac12)-1}{(y^2- \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y^2+y-1-2y^2+y}{(y^2- \tfrac14)}=\)

\(=\frac{2y-1}{(y^2- \tfrac14)}=\frac{2\cancel{(y-\frac12)}}{\cancel{(y- \tfrac12)}(y+ \tfrac12)}=\)

\(=\frac{2}{y+\frac{1}{2}}=\frac{2\cdot2}{2(y+\frac{1}{2})}=\frac{4}{2y+1}\)

б) \(\frac{6a}{2{,}5a^2 - 0{,}64}^{\color{red}{\backslash{50}}}-\frac{8}{6a - 3{,}2}^{\color{red}{\backslash{2,5}}}=\)

\(=\frac{300a}{125a^2 - 32}^{\color{red}{\backslash{15a-8}}}-\frac{20}{15a - 8}^{\color{red}{\backslash{125a^2-32}}}=\)

 \(=\frac{300a(15a - 8) - 20(125a^2 - 32)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{300a\cdot15a - 300a\cdot8 - 20\cdot125a^2 + 20\cdot32}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{4500a^2 - 2400a - 2500a^2 + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}= \)

 \(=\frac{2000a^2 - 2400a + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)}\)

Пояснения:

Вероятнее всего во втором пункте допущена опечатка и выражение должно выглядеть следующим образом:

\(=\frac{6a}{2{,}25a^2 - 0{,}64}-\frac{8}{6a - 3{,}2}=\)

\(=\frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}^{\color{red}{\backslash{4}}}-\)

\(-\frac{8}{4(1,5a - 0,8)}^{\color{red}{\backslash{1,5a+0,8}}}=\)

\(=\frac{24a}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}-\)

\(-\frac{8(1,5a+0,8)}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{24a-8(1,5a+0,8)}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{24a-12a-6,4}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{12a-6,4}{4(1,5a - 0,8)(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{8\cancel{(1,5a-0,8)}}{4\cancel{(1,5a - 0,8)}(1,5a+0,8)}=\)

\(=\frac{2}{1,5a+0,8}^{\color{red}{\backslash{10}}}=\frac{20}{15a+8}\)

Использованные правила и приёмы:

— Приведение дробей к общему знаменателю.

— Замена десятичных дробей на обыкновенные для удобства вычислений.

— Раскрытие скобок и сложение/вычитание одноимённых членов в числителе.

В пункте а) мы заметили, что знаменатели являются полными квадратами \((y\pm\tfrac12)^2\), а в числителях можно вынести общий множитель, после чего первые две дроби сокращаются, затем приводим к общему знаменателю и \(\tfrac{4}{2y+1}\).

В пункте б) сначала перевели десятичные коэффициенты в дробные, затем привели дроби к общему знаменателю, раскрыли скобки в числителе и привели подобные слагаемые.