Упражнение 231 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x + y + \frac{x - y}{4} =\)

\(=\frac{x + y}{1} ^{\color{red}{\backslash{4}}} +\frac{x - y}{4}=\)

\(=\frac{4(x + y) + (x - y)}{4} =\)

\(=\frac{4x + 4y + x - y}{4} = \frac{5x + 3y}{4}. \)

б) \( m + n - \frac{1 + mn}{n} =\)

\(= \frac{m + n}{1}^{\color{red}{\backslash{n}}} - \frac{1 + mn}{n} =\)

\(=\frac{n(m + n) - (1 + mn)}{n} =\)

\(=\frac{\cancel{mn} + n^2 -1 - \cancel{mn}}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}. \)

в) \( a - \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} =\)

\(=\frac{a}{1}^{\color{red}{\backslash{a + b + c}}} - \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} =\)

\(=\frac{a(a + b + c) - (ab + ac + bc)}{a + b + c} =\)

\(=\frac{a^2 + \cancel{ab} + \cancel{ac} - \cancel{ab} - \cancel{ac} - bc}{a + b + c} =\)

\(=\frac{a^2 - bc}{a + b + c}. \)

г) \( a^2 - b^2 - \frac{a^3 - b^3}{a + b} =\)

\(\frac{a^2 - b^2}{1}^{\color{red}{\backslash{a + b}}} - \frac{a^3 - b^3}{a + b} =\)

\(=\frac{(a^2 - b^2)(a + b) - (a^3 - b^3)}{a + b} =\)

\(=\frac{\cancel{a^3} + a^2b - ab^2 - \cancel{b^3} - \cancel{a^3} + \cancel{b^3}}{a + b} =\)

\(=\frac{a^2b - ab^2}{a + b} = \frac{ab(a - b)}{a + b}. \)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)

В пункте а) мы объединили сумму и дробь, домножив \(x+y\) на \(\tfrac{4}{4}\), затем сложили числители.

В пункте б) разобрали \(m+n\) как дробь со знаменателем \(n\), затем вычли \(\tfrac{1+mn}{n}\), выполнили раскрытие и упростили выражение.

В пункте в) умножили \(a\) на \(\tfrac{a+b+c}{a+b+c}\), затем вычли общий числитель, раскрыли скобки и сократили одинаковые члены.

В пункте г) умножили многочлен на многочлен для представления первого слагаемого, затем вычли числитель \(a^3-b^3\) второй дроби, раскрыли скобки, привели подобные слагаемые и выносили общий множитель \(ab\).

а) \(\frac{5}{y-3} ^{\color{red}{\backslash{y+3}}} +\frac{1}{y+3} ^{\color{red}{\backslash{y-3}}} -\frac{4y-18}{y^2-9}=\)

\(=\frac{5(y+3)}{y^2-9} +\frac{y-3}{y^2-9}  -\frac{4y-18}{y^2-9}=\)

\(= \frac{5(y+3)+(y-3)-(4y-18)}{y^2-9} =\)

\(=\frac{{\color{red}{5y}}+15+{\color{red}{y}}-3-{\color{red}{4y}}+18}{y^2-9} =\frac{2y+30}{y^2-9}. \)

б) \(\frac{2a}{2a+3}\;+\;\frac{5}{3-2a}\;-\;\frac{4a^2+9}{4a^2-9}=\)

\(=\frac{2a}{2a+3} ^{\color{red}{\backslash{2a-3}}}-\frac{5}{2a-3} ^{\color{red}{\backslash{2a+3}}}-\)

\(-\frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}=\)

\(=\frac{2a(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)} -\frac{5(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} -\)

\(-\frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}=\)

\(= \frac{2a(2a-3)-5(2a+3)-(4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)} =\)

\(=\frac{\cancel{4a^2}{\color{red}-6a-10a}-15-\cancel{4a^2}-9}{(2a-3)(2a+3)} =\)

\(=\frac{-16a-24}{(2a-3)(2a+3)} =\)

\(=\frac{-8\cancel{(2a+3)}}{(2a-3)\cancel{(2a+3)}} =-\frac{8}{2a-3}. \)

в) \(\frac{4m}{4m^2-1}\;-\;\frac{2m+1}{6m-3}\;+\;\frac{2m-1}{4m+2}=\)

\(=\frac{4m}{(2m-1)(2m+1)}^{\color{red}{\backslash{6}}}-\;\frac{2m+1}{3(2m-1)}^{\color{red}{\backslash{2(2m+1)}}}+\)

\(+\;\frac{2m-1}{2(2m+1)}^{\color{red}{\backslash{3(2m-1)}}}=\)

\(=\frac{24m}{6(2m-1)(2m+1)}-\;\frac{2(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)}+\)

\(+\;\frac{3(2m-1)^2}{6(2m+1)(2m-1)}=\)

\(= \frac{24m -2(2m+1)^2 +3(2m-1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} =\)

\(= \frac{24m -2(4m^2+4m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} +\)

\(+\frac{3(4m^2-4m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} =\)

\(= \frac{{\color{green}24m} {\color{red}-8m^2}{\color{green}-8m}-2 +{\color{red}12m^2}{\color{green}-12m}+3}{6(2m-1)(2m+1)} =\)

\(=\frac{4m^2+4m+1}{6(2m-1)(2m+1)} =\)

\(=\frac{(2m+1)\cancel{^2}}{6(2m-1)\cancel{(2m+1)}} =\frac{2m+1}{6(2m-1)}. \)

г) \(\frac{1}{(x+y)^2}\;-\;\frac{2}{x^2-y^2}\;+\;\frac{1}{(x-y)^2}=\)

\(=\frac{1}{(x+y)^2}^{\color{red}{\backslash{(x-y)^2}}}-\)

\(-\frac{2}{(x-y)(x+y)}^{\color{red}{\backslash{(x-y)(x+y)}}}+\)

\(+\frac{1}{(x-y)^2}^{\color{red}{\backslash{(x+y)^2}}}=\)

\(=\frac{(x-y)^2}{(x^2-y^2)^2}-\frac{2(x-y)(x+y)}{(x^2-y^2)^2}+\frac{(x+y)^2}{(x^2-y^2)^2}=\)

\(= \frac{(x-y)^2 -2(x+y)(x-y) + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} =\)

\(=\frac{((x-y)-(x+y))^2}{(x^2-y^2)^2} =\)

\(=\frac{(x-y-x-y)^2}{(x^2-y^2)^2} =\)

\(=\frac{(-2y)^2}{(x^2-y^2)^2} =\frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}. \)

д) \(\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1}\;-\;\frac{1-2a}{a^2+a+1}=\)

\(=\frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}\;-\;\frac{1-2a}{a^2+a+1}^{\color{red}{\backslash{(a-1)}}}=\)

\(=\frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}-\)

\(-\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)

\(= \frac{4a^2+3a+2 - (1-2a)(a-1)}{a^3-1} =\)

\(= \frac{{\color{red}4a^2}+{\color{green}3a}+2-{\color{green}a}+1+{\color{red}2a^2}{\color{green}-2a}}{a^3-1} =\)

\(=\frac{6a^2+3}{a^3-1}.\)

е) \(\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}\;-\;\frac{3xy}{x^3-y^3}\;+\;\frac{1}{x-y}=\)

\(=\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}^{\color{red}{\backslash{(x-y)}}}-\)

\(-\;\frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\;+\;\frac{1}{x-y}^{\color{red}{\backslash{(x^2+xy+y^2)}}}=\)

\(=\frac{(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}-\)

\(-\;\frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\;+\)

\(+\;\frac{(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\)

\( =\frac{(x-y)^2 -3xy + (x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\)

\( =\frac{{\color{red}x^2}{\color{green}-2xy}+y^2{\color{green} -3xy} +{\color{red} x^2}+{\color{green}xy}+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\)

\( =\frac{2x^2-4xy+2y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\)

\( =\frac{2(x^2-2xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\)

\(=\frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\)

\(=\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

- разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^3)\);

- свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\);

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.