Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№227 учебника 2023-2025 (стр. 58):
При каких натуральных \(n\) является натуральным числом значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{n+6}{n}\);
б) \(\displaystyle \frac{5n-12}{n}\);
в) \(\displaystyle \frac{36-n^2}{n^2}\)?
№227 учебника 2013-2022 (стр. 55):
Представьте в виде дроби:
а) \(x + y + \displaystyle\frac{x - y}{4}\);
б) \(m + n - \displaystyle\frac{1 + mn}{n}\);
в) \(a - \displaystyle\frac{ab + ac + bc}{a + b + c}\);
г) \(a^2 - b^2 - \displaystyle\frac{a^3 - b^3}{a + b}\).
№227 учебника 2023-2025 (стр. 58):
Вспомните:
№227 учебника 2013-2022 (стр. 55):
№227 учебника 2023-2025 (стр. 58):
а) \(\displaystyle \frac{n+6}{n} = 1 + \frac{6}{n}\)
\(n=1,2,3,6.\)
Ответ: \(n=1,2,3,6.\)
б) \(\displaystyle \frac{5n-12}{n} = 5 - \frac{12}{n}\)
\(n=3,4,6,12.\)
Ответ: \(n=3,4,6,12.\)
в) \(\displaystyle \frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1\)
\(\frac{36}{n^2}\ge2 \;\Longrightarrow\;n^2\le18,\;n=1,2,3.\)
Ответ: \(n=1,2,3.\)
Пояснения:
1) Для пункта (а) проверили делители числа 6: \(\{1,2,3,6\}\).
2) Для пункта (б) проверили делители числа 12 и условие \(5-\tfrac{12}{n}\ge1\), что даёт значения \(\tfrac{12}{n}\le4\), поэтому \(n\in\{3,4,6,12\}.\)
3) Для пункта (в) ввели переменную \(m=\tfrac{36}{n^2}\), потребовали \(m\in\mathbb{N}\) и \(m\ge2\), откуда \(n^2\in\{1,4,9\}\), т.е. \(n\in\{1,2,3\}.\)
№227 учебника 2013-2022 (стр. 55):
а) \( x + y + \frac{x - y}{4} =\)
\(=\frac{x + y}{1} ^{\color{red}{\backslash{4}}} +\frac{x - y}{4}=\)
\(=\frac{4(x + y) + (x - y)}{4} =\)
\(=\frac{4x + 4y + x - y}{4} = \frac{5x + 3y}{4}. \)
б) \( m + n - \frac{1 + mn}{n} =\)
\(= \frac{m + n}{1}^{\color{red}{\backslash{n}}} - \frac{1 + mn}{n} =\)
\(=\frac{n(m + n) - (1 + mn)}{n} =\)
\(=\frac{\cancel{mn} + n^2 -1 - \cancel{mn}}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}. \)
в) \( a - \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} =\)
\(=\frac{a}{1}^{\color{red}{\backslash{a + b + c}}} - \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} =\)
\(=\frac{a(a + b + c) - (ab + ac + bc)}{a + b + c} =\)
\(=\frac{a^2 + \cancel{ab} + \cancel{ac} - \cancel{ab} - \cancel{ac} - bc}{a + b + c} =\)
\(=\frac{a^2 - bc}{a + b + c}. \)
г) \( a^2 - b^2 - \frac{a^3 - b^3}{a + b} =\)
\(\frac{a^2 - b^2}{1}^{\color{red}{\backslash{a + b}}} - \frac{a^3 - b^3}{a + b} =\)
\(=\frac{(a^2 - b^2)(a + b) - (a^3 - b^3)}{a + b} =\)
\(=\frac{\cancel{a^3} + a^2b - ab^2 - \cancel{b^3} - \cancel{a^3} + \cancel{b^3}}{a + b} =\)
\(=\frac{a^2b - ab^2}{a + b} = \frac{ab(a - b)}{a + b}. \)
Пояснения:
Использованные правила:
1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.
2) Приведение подобных слагаемых:
\(ax+bx=(a+b)x\).
3) Раскрытие скобок:
- противоположные выражения:
\(-(a-b) = -a+b;\)
- распределительное свойство умножения:
\(k(a+b)=ka+kb.\)
В пункте а) мы объединили сумму и дробь, домножив \(x+y\) на \(\tfrac{4}{4}\), затем сложили числители.
В пункте б) разобрали \(m+n\) как дробь со знаменателем \(n\), затем вычли \(\tfrac{1+mn}{n}\), выполнили раскрытие и упростили выражение.
В пункте в) умножили \(a\) на \(\tfrac{a+b+c}{a+b+c}\), затем вычли общий числитель, раскрыли скобки и сократили одинаковые члены.
В пункте г) умножили многочлен на многочлен для представления первого слагаемого, затем вычли числитель \(a^3-b^3\) второй дроби, раскрыли скобки, привели подобные слагаемые и выносили общий множитель \(ab\).
Вернуться к содержанию учебника