Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№203 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Представьте дробь
\[\frac{4x + 3}{x^2 - 1}\]
в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x - 1\) и \(x + 1\).
№203 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Найдите все точки графика функции
\[\displaystyle y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}\]
с целочисленными координатами.
№203 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Вспомните:
№203 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Вспомните:
№203 учебника 2023-2025 (стр. 55):
\[\frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x + 1}.\]
\( \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x + 1}=\)
\(=\frac{a(x + 1) + b(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}=\)
\(=\frac{ax + a + bx - b}{(x - 1)(x + 1)}=\)
\(=\frac{(a + b)x + (a - b)}{(x - 1)(x + 1)}\)
\[\frac{4x + 3}{(x - 1)(x + 1)} =\frac{(a + b)x + (a - b)}{(x - 1)(x + 1)}\]
\[ \begin{cases} a + b = 4,\\ a - b = 3; \end{cases} \]
\[ \begin{cases} a = 4-b,\\ 4-b - b = 3 \end{cases} \]
\(4-b - b = 3\)
\( -2b = 3-4\)
\( -2b = -1\)
\(b=\frac{1}{2}\)
\(b=0,5\)
\(a = 4-b=4-0,5=3,5\)
\( \frac{4x + 3}{x^2 - 1} =\)
\(=\frac{3,5}{x - 1} + \frac{0,5}{x + 1}\)
Пояснения:
Метод разложения в простые дроби:
Чтобы представить рациональную функцию в виде суммы дробей, задаём неизвестные коэффициенты при каждом простом множителе знаменателя, приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Приравнивание коэффициентов:
Числитель после раскрытия скобок даёт многочлен \((a+b)x + (a-b)\), который должен равняться \(4x + 3\). Составляем систему для коэффициентов при \(x\) и свободного члена.
№203 учебника 2013-2022 (стр. 52):
\[\displaystyle y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}\]
Выполним деление многочленов:
| - | \(x^2\) | - | \(6x\)+ | \(1\) | \(x\) | - | \(3\) | ||
| \(x^2\) | - | \(3x\) | \(x\) | - | \(3\) | ||||
| - | - | \(3x\)+ | \(1\) | ||||||
| - | \(3x\)+ | \(9\) | |||||||
| - | \(8\) |
\[y =\frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3} = x - 3 + \frac{-8}{x - 3}.\]
Для того чтобы \(y\) было целым, должно быть целым \(\displaystyle \frac{-8}{x - 3}\). Значит, \(x - 3\) — делитель числа \(-8\).
Делители \(-8:\) \(\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\).
\(x - 3 = 1\):
\(x = 4,\;y = 1 - 8 = -7\) → \((4; -7)\).
\(x - 3= 2\):
\(x = 5,\;y = 2 - 4 = -2\) → \((5; -2)\).
\(x - 3= 4\):
\(x = 7,\;y = 4 - 2 = 2\) → \((7; 2)\).
\(x - 3 = 8\):
\(x = 11,\;y = 8 - 1 = 7\) → \((11; 7)\).
\(x - 3= -1\):
\(x = 2,\;y = -1 + 8 = 7\) → \((2; 7)\).
\(x - 3= -2\):
\(x = 1,\;y = -2 + 4 = 2\) → \((1; 2)\).
\(x - 3 = -4\):
\(x = -1,\;y = -4 + 2 = -2\) → \((-1; -2)\).
\(x - 3= -8\):
\(x = -5,\;y = -8 + 1 = -7\) → \((-5; -7)\).
Ответ: \((4; -7); (5; -2); (7; 2); (11; 7);\) \( (2; 7); (1; 2); (-1; -2); (-5; -7).\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Полиномиальное деление: выделили целую часть \(x-3\) и остаток \(-8\).
2. Дробь \(\frac{-8}{x-3}\) целая тогда и только тогда, когда \(x-3\) — делитель \(-8\).
3. Перечисление делителей числа и вычисление соответствующих значений \(x\) и \(y\).
Вернуться к содержанию учебника