Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№205 учебника 2023-2025 (стр. 55):
(Для работы в парах.) Зная, что \(m\) — целое число, найдите целые значения дроби:
а) \(\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3};\)
б) \(\frac{(m - 4)^2}{m - 2}.\)
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
№205 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).
№205 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Вспомните:
№205 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Вспомните:
№205 учебника 2023-2025 (стр. 55):
а) Выполним деление многочленов:
| - | \(m^2\) | - | \(6m\) | + | \(10\) | \(m\) | - | \(3\) | |
| \(m^2\) | - | \(3m\) | \(m\) | - | \(3\) | ||||
| - | - | \(3m\) | + | \(10\) | |||||
| - | \(3m\) | + | \(9\) | ||||||
| \(1\) |
\(m^2 - 6m + 10=(m-3)(m-3)+1\)
\[\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3} = m - 3 + \frac{1}{m - 3}.\]
Чтобы дробь целая, требуется \(m - 3\) делит 1, то есть
\(\displaystyle m - 3 = 1 \implies m = 4:\)
\(4 - 3 + \tfrac{1}{1} = 2.\)
\(\displaystyle m - 3 = -1 \implies m = 2:\)
\(2 - 3 + \tfrac{1}{-1} = -2.\)
Ответ: \(\pm2\)
б) \(\frac{(m - 4)^2}{m - 2} = \frac{m^2 - 8m + 16}{m - 2}\)
Выполним деление многочленов:
| - | \(m^2\) | - | \(8m\) | + | \(16\) | \(m\) | - | \(2\) | |
| \(m^2\) | - | \(2m\) | \(m\) | - | \(6\) | ||||
| - | - | \(6m\) | + | \(16\) | |||||
| - | \(6m\) | + | \(12\) | ||||||
| \(4\) |
\((m - 4)^2=(m-2)(m-6)+4\)
\(\frac{(m - 4)^2}{m - 2}= m - 6 + \frac{4}{m - 2}\)
Требуется, чтобы \(m - 2\) делил 4. Возможные значения:
\((m - 2): \pm1,\pm2,\pm4\)
Если \(m - 2=1\), то \(m=3\):
\(3 - 6 + \frac{4}{1} = 1;\)
Если \(m - 2=-1\), то \(m=1\):
\(1 - 6 + \frac{4}{-1} = -9;\)
Если \(m - 2=2\), то \(m=4\):
\(4 - 6 + \frac{4}{2} = 0;\)
Если \(m - 2=-2\), то \(m=0\):
\(0 - 6 + \frac{4}{-2} = -8;\)
Если \(m - 2=4\), то \(m=6\):
\(6 - 6 + \frac{4}{4} = 1;\)
Если \(m - 2=-4\), то \(m=-2\):
\(-2 - 6 + \frac{4}{-4} = -9.\)
Ответ: \(1; -9; 0; -8\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Выполняем деление многочлена на многочлен для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).
Пояснения к шагам:
— С помощью деления многочленов выделили целую часть и остаток.
— Для целочисленности остаточной дроби приравняли знаменатель к делителям остатка.
— Перечислили все возможные целочисленные значения \(m\) и вычислили итоговые значения дробей.
№205 учебника 2013-2022 (стр. 52):
\(\frac1a + \frac1b=\frac17\)
\(\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{7}\) \(|\times7ab\)
\(7(a + b) = ab\)
\(ab - 7a - 7b = 0\)
\((b - 7)a = 7b\)
\(a=\frac{7b}{b-7}\)
\(a=\frac{7b-49+49}{b-7}\)
\(a=\frac{7(b-7)+49}{b-7}\)
\(a=7+\frac{49}{b-7}\)
Чтобы выражение было натуральным числом, дробь \(\frac{49}{b-7}\) должна принимать натуральное значение. Значит, \(b-7\) — делитель числа \(49\).
Делители 49: \(1,7,49\).
\(b-7=1:\)
\(b=8;\) \(a=7+\frac{49}{8-7}=56\)
\(b-7=7:\)
\(b=14;\) \(a=7+\frac{49}{14-7}=14\)
\(b-7=49:\)
\(b=56;\) \(a=7+\frac{49}{56-7}=8\)
Ответ: \((56; 8); (14; 14); (8; 56).\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Из уравнения \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}\) выражаем одну переменную через другую, получаем дробь в правой части равенства.
2. Выделяем целую часть из полученной дроби.
3. Находим значение знаменателя, при котором дробная часть выражения принимает натуральные значения.
4. Находим значение переменных при данных значениях знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника