Упражнение 165 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \bigl(n ^{\color{blue}{\backslash{n}}} +\frac{1}{n}\bigr)^2 =\bigl(\frac{n^2+1}{n}\bigr)^2=\)

\(=\frac{(n^2+1)^2}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1)^2}{n^2}.\)

б) \( \bigl(\frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} \bigr)^2 =\bigl(\frac{a^2-b^2}{ab} \bigr)^2 = \)

\(=\frac{(a^2-b^2)^2}{(ab)^2} = \frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}. \)

в) \( \bigl(\frac{x}{y}+1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 + \bigl(\frac{x}{y}-1 ^{\color{blue}{\backslash{y}}} \bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\frac{x+y}{y}\bigr)^2+\bigl(\frac{x-y}{y}\bigr)^2=\)

\(=\frac{(x+y)^2}{y^2}+\frac{(x-y)^2}{y^2}=\)

\(=\frac{x^2+\cancel{2xy}+y^2+x^2-\cancel{2xy}+y^2}{y^2}=\)

\(=\frac{2x^2+2y^2}{y^2}.\)

г) \( \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} +\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \bigr)^2 =\)

\(= \bigl(\frac{p^2+q^2}{pq} \bigr)^2 - \bigl(\frac{p^2-q^2}{pq} \bigr)^2=\)

\(= \frac{(p^2+q^2)^2}{(pq)^2}  - \frac{(p^2-q^2)^2}{(pq)^2} =\)

\(= \frac{p^4+2p^2q^2+q^4-(p^4-2p^2q^2+q^4)}{(pq)^2}=\)

\(= \frac{\cancel{p^4}+2p^2q^2+\cancel{q^4}-\cancel{p^4}+2p^2q^2-\cancel{q^4}}{p^2q^2}=\)

\(= \frac{4\cancel{p^2q^2}}{\cancel{p^2q^2}}=4\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Квадрат суммы двух выражений:

\(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Квадрат разности двух выражений:

\(\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

5) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

6) Свойства степени:

\( \bigl(\frac{a}{b}\bigr)^n = \frac{a^n}{b^n}\);

\(a^nb^n = (ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).

а) \( \frac{2 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{a}{x}}{2 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{a}{x}} = \frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} =\)

\(=\frac{2x - a}{x} : \frac{2x + a}{x}=\)

\(=\frac{2x - a}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{2x + a}=\)

\(=\frac{2x - a}{2x + a}. \)

б) \( \frac{\frac{a - b}{c} + 3 ^{\color{blue}{\backslash{c}}} }{\frac{a + b}{c} - 1 ^{\color{blue}{\backslash{c}}} } = \frac{\frac{a - b + 3c}{c}}{\frac{a + b - c}{c}} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{c} : \frac{a + b - c}{c} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{\cancel{c}} \cdot \frac{\cancel{c}}{a + b - c} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{a + b - c}. \)

в) \( \frac{\frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} + \frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} }{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y + x}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} =\)

\(=\frac{y + x}{xy} : \frac{y - x}{xy}=\)

\(=\frac{y + x}{\cancel{xy}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{y - x}=\frac{y+x}{y - x}. \)

г) \(\frac{x - y}{\frac{x}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} -\frac{y}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} }=\frac{x - y}{\frac{x^2-y^2}{xy}}=\)

\(=(x-y) : \frac{x^2-y^2}{xy}=\)

\(=(x-y) \cdot \frac{xy}{x^2-y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{(x-y)}\cdot xy}{\cancel{(x-y)}(x+y)}=\frac{xy}{x+y}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).