Упражнение 159 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \bigl(0{,}5\,(a-1)^2 - 18\bigr)\;\Bigl(\frac{a+5}{a-7} ^{\color{blue}{\backslash{}a+5}} + \frac{a-7}{a+5} ^{\color{blue}{\backslash{a-7}}} \Bigr) =\)

\(= \bigl(\frac{a^2 - 2a +1}{2} -18 ^{\color{blue}{\backslash2}} \bigr)\cdot\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a +1-36}{2} \cdot\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a - 35}{2} \cdot\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)} =\)

\(= \frac{a^2 - 2a - 35}{2} \cdot\frac{2(a^2-2a+37)}{a^2+5a-7a-35} =\)

\(= \frac{\cancel{(a^2 - 2a - 35)}\cdot \cancel{2}(a^2-2a+37)}{\cancel{2}\cdot\cancel{(a^2-2a-35)}} =\)

\(=a^2-2a+37=a^2-2a+1 + 36 = \)

\(=(a-1)^2 + 36 > 0\) при любом значении \(a\).

Наименьшее значение будет при \(a = 1\):

\((1-1)^2 + 36 = 36\).

Ответ: при \(a=1\) выражение принимает наименьшее значение, равное \(36\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Подстановка \(a=1\) даёт значение \(36\), что и будет наименьшим значением функции.

а) \(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\biggr)=\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\biggl(\frac{p}{q} ^{\color{blue}{\backslash{p}}} -\frac{q}{p} ^{\color{blue}{\backslash{q}}} \biggr)=\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{p+q}\cdot\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{1}{\cancel{p+q}}\cdot\frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{pq}=\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{2p - q}{p q} -\frac{p-q}{pq}=\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{2p - \cancel{q}-p+\cancel{q}}{p q} =\frac{1}{q}\)

\(\displaystyle \frac{\cancel{p}}{\cancel{p} q} =\frac{1}{q}\)

\(\frac{1}{q}=\frac{1}{q}\)

Тождество доказано.

б) \(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} -\frac{\,a-b\,}{2(a+b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\frac{b}{a-b}-\frac{b^2 - a b}{a^2 - b^2}\)

\(\displaystyle \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} +\frac{b(a- b)}{(a - b)(a+b)}\)

\(\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+b)+b(a- b)}{(a-b)(a+b)}\)

\(\displaystyle \frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2}-\cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{2(a-b)(a+b)}=\frac{ab+\cancel{b^2}+ab- \cancel{b^2}}{(a-b)(a+b)}\)

\(\displaystyle \frac{^2\cancel4ab}{\cancel2(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}\)

\(\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}\)

Тождество доказано.

Пояснения:

Для доказательства тождества нужно преобразовать левую и правую его части и получить одно и то же выражение.

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Умножение дробей:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

7) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).